7.2.1 Характеристическая функция случайной величины

Пусть , гдеX – случайная величина с известным законом распределения, t – параметр, .

Характеристической функцией случайной величины Х называется математическое ожидание функции :

. (7.12)

Таким образом, характеристическая функция и закон распределения случайной величины однозначно связаныпреобразованием Фурье. Например, плотность распределения f(x) случайной величины X однозначно выражается через ее характеристическую функцию при помощи обратного преобразования Фурье:

. (7.13)

Основные свойства характеристической функции:

1. Характеристическая функция величины , где X - случайная величина с характеристической функций , равна

. (7.14)

2. Начальный момент k – го порядка случайной величины X равен

, (7.15)

где - значениеk –й производной характеристической функции при t = 0.

3. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

. (7.16)

4. Характеристическая функция нормальной случайной величины с параметрами m и σ равна:

. (7.17)

Лекция 8

8.1 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения

Двухмерная случайная величина (Х,Y) или система двух случайных величин – совокупность двух одномерных случайных величин, которые принимают значения в результате проведения одного и того же опыта.

Двухмерные случайные величины характеризуются множествами значений _X , _Y своих компонент и совместным (двухмерным) законом распределения. В зависимости от типа компонент X, Y различают дискретные, непрерывные и смешанные двухмерные случайные величины.

Двухмерную случайную величину (Х,Y) геометрически можно представить как случайную точку (Х,У) на плоскости х0у либо как случайный вектор, направленный из начала координат точку (Х,У).

Двухмерный закон распределения вероятностей – функция, таблица, правило, позволяющие вычислить вероятности любых случайных событий, связанных двухмерной случайной величиной (Х,Y):

8.1.1 Двухмерная функция распределения

Двухмерная функция распределения двухмерной случайной величины (Х,Y) равна вероятности совместного выполнения двух событий и:

. (8.1)

Геометрически двухмерная функция распределения - это вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащей левее и ниже ее.

Компонента Х приняла значения, меньшие действительного числа х – это функция распределения , а компонентаY приняла значения, меньшие действительного числа у – это функция распределения .

Свойства двухмерной функции распределения:

1. 0 £ F(x, y) £ 1.

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, не превышающее 1.

2. F(-¥ , y) = F(x, -¥ ) = F(-¥ , -¥ ) = 0, F(+¥ ,+¥) = 1.

3. F(x₁, y) £ F(x₂, y), если x₂ > x₁; F(x, y₁) £ F(x, y₂), если y₂ > y₁.

Доказательство. Докажем, что  неубывающая функция по переменной х. Рассмотрим вероятность

.

Так как , а ,то .

Аналогично и для у.

4. Переход к одномерным характеристикам:

; (8.2)

. (8.3)

5. Вероятность попадания в прямоугольную область

.

Функция распределения  наиболее универсальная форма закона распределения и может быть использована для описания как непрерывных, так и дискретных двухмерных случайных величин.