16.1.1 Оценка корреляционного момента

Оценка корреляционного момента. Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна

(16.5)

где x_i, y_i - значения, которые приняли случайные величины X, Y в i-м опыте;

- средние значения случайных величин X и Y соответственно.

16.1.2 Оценка коэффициента корреляции

Оценка коэффициента корреляции. Состоятельная оценка коэффициента корреляции равна

(16.6)

где - оценки среднеквадратического отклонения случайных величин X и Y соответственно.

16.1.3 Доверительный интервал для коэффициента корреляции

Доверительный интервал для коэффициента корреляции с надежностью γ для случая двумерного нормального распределения имеет вид:

, (16.7)

где ;;

- значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(z_) = .

Если объем выборки достаточно выборки велик (n > 50 ), то закон распределения оценки коэффициента корреляции можно считать асимптотически нормальным и доверительный интервал построить по формуле:

(16.8)

16.2 Статистические критерии двухмерных случайных величин

16.2.1 Гипотеза об отсутствии корреляционной зависимости

Предполагается, что двухмерная случайная величина (X, Y) распределена по нормальному закону. Если модуль точечной оценки коэффициента корреляции, вычисленный по исходной двумерной выборке случайной величины (X, Y), не велик (), то гипотеза об отсутствии корреляционной зависимости между величинамиX и Y может быть проверена следующий образом.

1. Формулируется гипотеза:

H₀: ;

H₁: .

Здесь - теоретический коэффициент корреляции.

2. Вычисляется оценка коэффициента корреляции по формуле (16.6)

3. Если объем выборки не велик ( n < 50 ), определяется значение критерия

, (16.9)

который распределен по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы, если гипотеза H₀ верна.

4. По заданному уровню значимости  вычисляется доверительная вероятность и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение .

5. Если , то гипотеза H₀ отклоняется, а следовательно, величины X, Y коррелированы. В противном случае гипотеза H₀ принимается.

3*. Если объем выборки велик (n > 50 ), то определяется значение критерия

, (16.10)

который распределен практически по нормальному закону, если гипотеза H₀ верна.

4*. По заданному уровню значимости  из таблицы функции Лапласа определяется критическое значение , т.е..

5*. Если , то гипотезаH₀ отклоняется, а следовательно, величины X, Y коррелированы. В противном случае гипотеза H₀ принимается.

16.2.1 Гипотеза о равенстве математических ожиданий

Пусть ,- независимые случайные выборки из генеральных совокупностей случайных величинX и Y. Вычислены оценки математических ожиданий величин X и Y

которые оказались приблизительно равны.

Формулируется двухальтернативная гипотеза:

H₀: , т.е. математические ожидания величин X и Y равны.

H₁: .

Для проверки данной гипотезы используется t-критерий. t-критерий служит для сравнения двух средних значений из нормально распределенных генеральных совокупностей в предположении, что дисперсии σ_X и σ_Y равны, хотя и неизвестны.

В качестве критерия используем величину

. (16.11)

При сделанных предпосылках (нормальная закон распределения величин X и Y и равенство дисперсий) и в предположении, что гипотеза Н₀ верна, величина Т удовлетворяет распределению Стьюдента с степенями свободы.

Поэтому критическая область может быть установлена следующим образом. Для заданного уровня значимости α по таблице распределения Стьюдента определяем значение . Если вычисленное (согласно (16.11)) значениеT удовлетворяет неравенству , то гипотезуН₀ отвергают.

По отношению к предпосылке «нормальной распределенности» t-критерий не очень чувствителен. Его можно применять, если статистические распределения обеих выборок не имеют нескольких вершин (т.е. унимодальные) и не слишком ассиметричны. Предпосылка σ_X = σ_Y во многих случаях может быть обоснована на содержательном уровне; а гипотезу σ_X = σ_Y можно проверить по F-критерию (см. ниже).