- •Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа
- •Учреждение образования
- •«Белорусский государственный университет
- •Информатики и радиоэлектроники»
- •Пояснительная записка
- •Содержание дисциплины
- •2. Перечень тем практических занятий, их содержание и объем в часах
- •3. Литература
- •3.2 Дополнительная
- •4. Контрольные работы, их характеристика
- •5. Учебно-методическая карта дисциплины
- •Теоретический раздел Лекция 1
- •1.1 Введение
- •1.2 Основные понятия
- •1.3 Аксиомы теории вероятностей
- •1.4 Непосредственный подсчет вероятностей
- •1.5 Основные комбинаторные формулы
- •Лекция 2
- •2.1 Геометрическое определение вероятностей
- •2.2 Теоремы сложения вероятностей
- •2.3 Условная вероятность
- •2.4 Зависимые и независимые события
- •2.5 Теоремы умножения вероятностей
- •2.6 Вероятность безотказной работы сети
- •Лекция 3
- •3.1 Формула полной вероятности
- •3.2 Формула Байеса
- •3.3 Теорема о повторении опытов
- •Формула Пуассона
- •Формулы Муавра-Лапласа
- •Лекция 4
- •4.1 Случайные величины. Закон распределения вероятностей
- •4.2 Функция распределения
- •4.3 Ряд распределения
- •4.4 Плотность распределения
- •Лекция 5
- •5.1 Числовые характеристики случайной величины
- •5.1.1 Математическое ожидание
- •5.1.2 Начальные моменты
- •5.1.3 Центральные моменты
- •5.1.4 Дисперсия
- •5.1.5 Среднее квадратическое отклонение
- •5.1.6 Мода
- •5.1.7 Медиана
- •6.2 Типовые законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1 Равномерное распределение
- •6.2.2 Экспоненциальное распределение
- •6.2.3 Нормальное распределение
- •Лекция 7
- •7.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •7.1.1 Монотонно возрастающая функция
- •7.1.2 Монотонно убывающая функция
- •7.1.3 Немонотонная функция
- •7.2 Числовые характеристики функции случайного аргумента
- •7.2.1 Характеристическая функция случайной величины
- •Лекция 8
- •8.1 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения
- •8.1.1 Двухмерная функция распределения
- •8.1.2 Матрица распределения
- •8.1.3 Двухмерная плотность распределения
- •8.2 Зависимые и независимые случайные величины
- •8.3 Условные законы распределения
- •Лекция 9
- •9.1 Числовые характеристики двухмерных величин
- •9.1.1 Смешанные начальные моменты
- •9.1.2 Смешанные центральные моменты
- •9.1.3 Корреляционный момент
- •9.1.4 Коэффициент корреляции
- •9.2Условные числовые характеристики
- •9.2.1 Pегрессия
- •Лекция 10
- •10.1 Нормальный закон распределения на плоскости
- •10.2 Закон распределения функции двух случайных величин
- •10.3 Многомерные случайные величины
- •10.3.1 Функция распределения
- •10.3.2 Плотность распределения
- •10.3.3 Числовые характеристики
- •11.2.2 Теорема о дисперсии суммы
- •11.3 Числовые характеристики произведения случайных величин
- •11.3.1 Теорема о математическом ожидании произведения
- •11.3.2 Теорема о дисперсии произведения
- •Лекция 12
- •12.1 Закон больших чисел
- •12.1.1 Неравенство Чебышева
- •12.1.2 Теорема Чебышева
- •12.1.3 Теорема Бернулли
- •12.2 Центральная предельная теорема
- •Лекция 13
- •13.1 Математическая статистика. Основные понятия
- •13.2 Оценка закона распределения
- •13.2.1 Эмпирическая функция распределения
- •13.2.2 Статистический ряд распределения
- •13.2.3 Интервальный статистический ряд
- •13.2.4 Гистограмма
- •Лекция 14
- •14.1 Точечные оценки числовых характеристик
- •14.1.1 Оценка математического ожидания
- •14.1.2 Оценка начального момента
- •14.1.3 Оценка дисперсии
- •14.1.4 Оценка центрального момента
- •14.1.5 Оценка вероятности
- •14.2 Оценка параметров распределения
- •14.3 Интервальные оценки числовых характеристик
- •14.3.1 Доверительный интервал для математического ожидания
- •14.3.2 Доверительный интервал для дисперсии
- •14.3.3 Доверительный интервал для вероятности
- •Лекция 15
- •15.1 Проверка статистических гипотез
- •15.1.1 Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
- •15.2 Критерии согласия
- •15.2.1 Критерий Пирсона
- •15.2.2 Критерий Колмогорова
- •Лекция 16
- •16.1 Статистическая обработка двухмерных случайных величин
- •16.1.1 Оценка корреляционного момента
- •16.2.1 Гипотеза о равенстве математических ожиданий
- •16.2.2 Гипотеза о равенстве дисперсий
- •16.2.3 Гипотеза о равенстве законов распределения
- •Лекция 17
- •17.1 Оценка регрессионных характеристик
- •17.1.1 Метод наименьших квадратов
- •Практический раздел Контрольные работы Указания по выбору варианта
- •Контрольная работа №1. Теория вероятностей Задача 1. Случайные события. Вероятность события Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Основные комбинаторные формулы
- •Примеры
- •Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 4. Формула Бернулли Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 5. Дискретная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 6. Непрерывная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 8. Двухмерные случайные величины Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Контрольная работа №2. Математическая статистика Задача 10. Обработка одномерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка закона распределения
- •Точечные оценки числовых характеристик
- •Интервальные оценки числовых характеристик
- •Проверка статистических гипотез
- •Примеры
- •Задача 11. Обработка двухмерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка регрессионных характеристик
- •Примеры
- •8,74746;
- •8,86278
Методические указания
Пусть производится n независимых опытов. В результате каждого опыта событие A появляется в одном опыте с вероятностью р и не появляется с вероятностью . Вероятность того, что в последовательности изn опытов событие А произойдет ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:
(4.1)
Рекуррентная формула имеет вид
(4.2)
Вероятность того, что вn опытах схемы Бернулли событие А появится от дораз (), равна
. (4.3)
Вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А появится не менее m раз, вычисляется так:
(4.4)
Здесь надо выбирать, какой ряд короче, и его использовать для расчета. Например, вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, равна
. (4.5)
Наивероятнейшее число наступлений событияА при n опытах определяется из неравенства:
(4.6)
Примеры
Пример 4.1. По каналу связи передается n = 6 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью p = 0,2 оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий:
A = {ровно два сообщения из 6 искажены},
B = {все сообщения будут искажены},
C = {все сообщения будут переданы без искажений},
D = {не менее двух сообщений из 6 искажены}.
Решение. По формуле Бернулли (4.1) рассчитаем вероятности первых трех событий:
,
.
Вероятность события D определим по формуле (4.4), первый ряд требует для вычисления пяти слагаемых, второй только два:
.
Пример 4.2. Монету подбрасывают 10 раз. Чему будет равно наивероятнейшее число выпадений герба?
Решение. Запишем , вероятность появления герба (событиеА) симметричной монеты равна . Вероятность противоположного события:. Тогда наивероятнейшее число определим, используя (4.6):
Отсюда следует, что .
Задача 5. Дискретная случайная величина Условия вариантов задачи
В задачах 5.1-5.40 дискретная случайная величина Хможет принимать одно из пяти фиксированных значенийx1, x2, x3, x4, x5с вероятностямиp1, p2, p3, p4, p5соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найтиpотмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Таблица. 5.1
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
5.1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5.2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
5.3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
5.4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
5.5 |
-2 |
-1 |
1 |
3 |
7 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5.6 |
-2 |
-1 |
1 |
3 |
7 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5.7 |
-5 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
5.8 |
-5 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
5.9 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5.10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
5.11 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0 |
5.12 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0,6 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
5.13 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
5.14 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0 |
5.15 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
5.16 |
-5 |
-4 |
-3 |
5 |
6 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5.17 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
9 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
5.18 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
9 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
5.19 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
9 |
0,15 |
0,15 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
5.20 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,6 |
5.21 |
1 |
4 |
7 |
8 |
9 |
0,3 |
0,15 |
0,25 |
0,15 |
0,15 |
5.22 |
1 |
4 |
7 |
8 |
9 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5.23 |
-10 |
-4 |
0 |
4 |
10 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
5.24 |
-10 |
-4 |
0 |
4 |
10 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
5.25 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,35 |
0,05 |
5.26 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
0,7 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
5.27 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
0,2 |
0,3 |
0,05 |
0,25 |
0,2 |
5.28 |
1 |
4 |
5 |
7 |
8 |
0,6 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,15 |
5.29 |
1 |
4 |
5 |
7 |
8 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
0,15 |
5.30 |
5 |
6 |
7 |
9 |
12 |
0,05 |
0,15 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
5.31 |
0 |
2 |
4 |
8 |
10 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
* |
5.32 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
0,5 |
0,1 |
* |
0,1 |
0,2 |
5.33 |
-4 |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
0,2 |
* |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
5.34 |
-6 |
-3 |
-1 |
0 |
2 |
* |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
5.35 |
2 |
3 |
4 |
8 |
10 |
0,3 |
* |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
5.36 |
0 |
2 |
3 |
6 |
5 |
0,2 |
0,2 |
* |
0,2 |
0,2 |
5.37 |
1 |
3 |
5 |
6 |
8 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
* |
0,2 |
5.38 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
6 |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
* |
0,1 |
5.39 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
5 |
0,4 |
0,1 |
* |
0,1 |
0,1 |
5.40 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
* |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |