- •Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа
- •Учреждение образования
- •«Белорусский государственный университет
- •Информатики и радиоэлектроники»
- •Пояснительная записка
- •Содержание дисциплины
- •2. Перечень тем практических занятий, их содержание и объем в часах
- •3. Литература
- •3.2 Дополнительная
- •4. Контрольные работы, их характеристика
- •5. Учебно-методическая карта дисциплины
- •Теоретический раздел Лекция 1
- •1.1 Введение
- •1.2 Основные понятия
- •1.3 Аксиомы теории вероятностей
- •1.4 Непосредственный подсчет вероятностей
- •1.5 Основные комбинаторные формулы
- •Лекция 2
- •2.1 Геометрическое определение вероятностей
- •2.2 Теоремы сложения вероятностей
- •2.3 Условная вероятность
- •2.4 Зависимые и независимые события
- •2.5 Теоремы умножения вероятностей
- •2.6 Вероятность безотказной работы сети
- •Лекция 3
- •3.1 Формула полной вероятности
- •3.2 Формула Байеса
- •3.3 Теорема о повторении опытов
- •Формула Пуассона
- •Формулы Муавра-Лапласа
- •Лекция 4
- •4.1 Случайные величины. Закон распределения вероятностей
- •4.2 Функция распределения
- •4.3 Ряд распределения
- •4.4 Плотность распределения
- •Лекция 5
- •5.1 Числовые характеристики случайной величины
- •5.1.1 Математическое ожидание
- •5.1.2 Начальные моменты
- •5.1.3 Центральные моменты
- •5.1.4 Дисперсия
- •5.1.5 Среднее квадратическое отклонение
- •5.1.6 Мода
- •5.1.7 Медиана
- •6.2 Типовые законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1 Равномерное распределение
- •6.2.2 Экспоненциальное распределение
- •6.2.3 Нормальное распределение
- •Лекция 7
- •7.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •7.1.1 Монотонно возрастающая функция
- •7.1.2 Монотонно убывающая функция
- •7.1.3 Немонотонная функция
- •7.2 Числовые характеристики функции случайного аргумента
- •7.2.1 Характеристическая функция случайной величины
- •Лекция 8
- •8.1 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения
- •8.1.1 Двухмерная функция распределения
- •8.1.2 Матрица распределения
- •8.1.3 Двухмерная плотность распределения
- •8.2 Зависимые и независимые случайные величины
- •8.3 Условные законы распределения
- •Лекция 9
- •9.1 Числовые характеристики двухмерных величин
- •9.1.1 Смешанные начальные моменты
- •9.1.2 Смешанные центральные моменты
- •9.1.3 Корреляционный момент
- •9.1.4 Коэффициент корреляции
- •9.2Условные числовые характеристики
- •9.2.1 Pегрессия
- •Лекция 10
- •10.1 Нормальный закон распределения на плоскости
- •10.2 Закон распределения функции двух случайных величин
- •10.3 Многомерные случайные величины
- •10.3.1 Функция распределения
- •10.3.2 Плотность распределения
- •10.3.3 Числовые характеристики
- •11.2.2 Теорема о дисперсии суммы
- •11.3 Числовые характеристики произведения случайных величин
- •11.3.1 Теорема о математическом ожидании произведения
- •11.3.2 Теорема о дисперсии произведения
- •Лекция 12
- •12.1 Закон больших чисел
- •12.1.1 Неравенство Чебышева
- •12.1.2 Теорема Чебышева
- •12.1.3 Теорема Бернулли
- •12.2 Центральная предельная теорема
- •Лекция 13
- •13.1 Математическая статистика. Основные понятия
- •13.2 Оценка закона распределения
- •13.2.1 Эмпирическая функция распределения
- •13.2.2 Статистический ряд распределения
- •13.2.3 Интервальный статистический ряд
- •13.2.4 Гистограмма
- •Лекция 14
- •14.1 Точечные оценки числовых характеристик
- •14.1.1 Оценка математического ожидания
- •14.1.2 Оценка начального момента
- •14.1.3 Оценка дисперсии
- •14.1.4 Оценка центрального момента
- •14.1.5 Оценка вероятности
- •14.2 Оценка параметров распределения
- •14.3 Интервальные оценки числовых характеристик
- •14.3.1 Доверительный интервал для математического ожидания
- •14.3.2 Доверительный интервал для дисперсии
- •14.3.3 Доверительный интервал для вероятности
- •Лекция 15
- •15.1 Проверка статистических гипотез
- •15.1.1 Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
- •15.2 Критерии согласия
- •15.2.1 Критерий Пирсона
- •15.2.2 Критерий Колмогорова
- •Лекция 16
- •16.1 Статистическая обработка двухмерных случайных величин
- •16.1.1 Оценка корреляционного момента
- •16.2.1 Гипотеза о равенстве математических ожиданий
- •16.2.2 Гипотеза о равенстве дисперсий
- •16.2.3 Гипотеза о равенстве законов распределения
- •Лекция 17
- •17.1 Оценка регрессионных характеристик
- •17.1.1 Метод наименьших квадратов
- •Практический раздел Контрольные работы Указания по выбору варианта
- •Контрольная работа №1. Теория вероятностей Задача 1. Случайные события. Вероятность события Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Основные комбинаторные формулы
- •Примеры
- •Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 4. Формула Бернулли Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 5. Дискретная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 6. Непрерывная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 8. Двухмерные случайные величины Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Контрольная работа №2. Математическая статистика Задача 10. Обработка одномерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка закона распределения
- •Точечные оценки числовых характеристик
- •Интервальные оценки числовых характеристик
- •Проверка статистических гипотез
- •Примеры
- •Задача 11. Обработка двухмерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка регрессионных характеристик
- •Примеры
- •8,74746;
- •8,86278
Методические указания
Числовые характеристики суммы
Пусть , где– не случайные коэффициенты, тогда
– математическое ожидание Y равно
, (9.1)
где – математическое ожидание СВXi;
– дисперсия Y равно:
, (9.2)
где – дисперсия СВ Xi ,
–корреляционный момент величин X1 и X2.
Если,– не случайные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия величиныY равны
; (9.3)
. (9.4)
Числовые характеристики произведения
Пусть , где– не случайный коэффициент, то математическое ожиданиеY равно:
; (9.5)
где – математическое ожидание СВXi ,
–корреляционный момент величин X1 и X2.
Если , то математическое ожиданиеY равно
; (9.6)
В случае независимых сомножителей и дисперсия может быть определена по формуле
. (9.7)
Если , гдеXi – независимые случайные величины, то математическое ожидание и дисперсия Y равны
; (9.8)
. (9.9)
Примеры
Пример 9.1. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :
Величины ,,имеют следующие числовые характеристики:
Решение. Вычислим математические ожидания U и V по формуле (9.1):
Вычислим дисперсии DU и DV по формуле (9.2):
Рассчитаем корреляционный момент по формуле (8.10):
.
Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V :
Таким образом
Величину определим по формуле (8.11):
Контрольная работа №2. Математическая статистика Задача 10. Обработка одномерной выборки Условие задачи
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия 2 и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.
Необходимая для выполнения задачи выборка, объемом 49 значений одномерной величины, содержится в индивидуальном задании студента.
Методические указания
Генеральной совокупностью опыта называется множество объектов, из которых производится выборка. Выборка – множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности.Объемом выборки n называется число входящих в нее объектов.
Вариационным рядом называется выборка {}, полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значенияназываются вариантами.
Оценка закона распределения
Эмпирическая функция распределения случайной величины X равна частоте того, что X примет значение меньшее, чем аргумент функции x, и определяется формулой
(10.1)
При эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической функции распределения .
Интервальный статистический ряд вероятностей строится по исходной выборке, если анализируемая случайная величина Х является непрерывной, и представляет собой следующую таблицу:
j |
Aj |
Bj |
hj |
j | ||
1 |
A1 |
B1 |
h1 |
1 | ||
|
|
|
|
|
| |
M |
AM |
BM |
hM |
M |
Здесь j – номер интервала;
M – число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :
(10.2)
где int(x) – целая часть числа x . Желательно, чтобы n без остатка делилось на M;
Aj, Bj – левая и правая границы j-го интервала (– интервалы примыкают друг к другу), причем,;
–длина j-го интервала;
количество чисел в выборке, попадающих в j-й интервал,
–частота попадания в j-й интервал; .
–статистическая плотность вероятности в j-м интервале.
При построения интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы:
1) равноинтервальный, т.е. все интервалы одинаковой длины:
(10.3)
2) равновероятностный, т.е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы n без остатка делилось на M):
(10.4)
Гистограмма строится по интервальному статистическому ряду и представляет собой статистический аналог графика плотности вероятности случайной величины.Гистограмма – совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах hj статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале. Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода – одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна 1.