- •Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа
- •Учреждение образования
- •«Белорусский государственный университет
- •Информатики и радиоэлектроники»
- •Пояснительная записка
- •Содержание дисциплины
- •2. Перечень тем практических занятий, их содержание и объем в часах
- •3. Литература
- •3.2 Дополнительная
- •4. Контрольные работы, их характеристика
- •5. Учебно-методическая карта дисциплины
- •Теоретический раздел Лекция 1
- •1.1 Введение
- •1.2 Основные понятия
- •1.3 Аксиомы теории вероятностей
- •1.4 Непосредственный подсчет вероятностей
- •1.5 Основные комбинаторные формулы
- •Лекция 2
- •2.1 Геометрическое определение вероятностей
- •2.2 Теоремы сложения вероятностей
- •2.3 Условная вероятность
- •2.4 Зависимые и независимые события
- •2.5 Теоремы умножения вероятностей
- •2.6 Вероятность безотказной работы сети
- •Лекция 3
- •3.1 Формула полной вероятности
- •3.2 Формула Байеса
- •3.3 Теорема о повторении опытов
- •Формула Пуассона
- •Формулы Муавра-Лапласа
- •Лекция 4
- •4.1 Случайные величины. Закон распределения вероятностей
- •4.2 Функция распределения
- •4.3 Ряд распределения
- •4.4 Плотность распределения
- •Лекция 5
- •5.1 Числовые характеристики случайной величины
- •5.1.1 Математическое ожидание
- •5.1.2 Начальные моменты
- •5.1.3 Центральные моменты
- •5.1.4 Дисперсия
- •5.1.5 Среднее квадратическое отклонение
- •5.1.6 Мода
- •5.1.7 Медиана
- •6.2 Типовые законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1 Равномерное распределение
- •6.2.2 Экспоненциальное распределение
- •6.2.3 Нормальное распределение
- •Лекция 7
- •7.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •7.1.1 Монотонно возрастающая функция
- •7.1.2 Монотонно убывающая функция
- •7.1.3 Немонотонная функция
- •7.2 Числовые характеристики функции случайного аргумента
- •7.2.1 Характеристическая функция случайной величины
- •Лекция 8
- •8.1 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения
- •8.1.1 Двухмерная функция распределения
- •8.1.2 Матрица распределения
- •8.1.3 Двухмерная плотность распределения
- •8.2 Зависимые и независимые случайные величины
- •8.3 Условные законы распределения
- •Лекция 9
- •9.1 Числовые характеристики двухмерных величин
- •9.1.1 Смешанные начальные моменты
- •9.1.2 Смешанные центральные моменты
- •9.1.3 Корреляционный момент
- •9.1.4 Коэффициент корреляции
- •9.2Условные числовые характеристики
- •9.2.1 Pегрессия
- •Лекция 10
- •10.1 Нормальный закон распределения на плоскости
- •10.2 Закон распределения функции двух случайных величин
- •10.3 Многомерные случайные величины
- •10.3.1 Функция распределения
- •10.3.2 Плотность распределения
- •10.3.3 Числовые характеристики
- •11.2.2 Теорема о дисперсии суммы
- •11.3 Числовые характеристики произведения случайных величин
- •11.3.1 Теорема о математическом ожидании произведения
- •11.3.2 Теорема о дисперсии произведения
- •Лекция 12
- •12.1 Закон больших чисел
- •12.1.1 Неравенство Чебышева
- •12.1.2 Теорема Чебышева
- •12.1.3 Теорема Бернулли
- •12.2 Центральная предельная теорема
- •Лекция 13
- •13.1 Математическая статистика. Основные понятия
- •13.2 Оценка закона распределения
- •13.2.1 Эмпирическая функция распределения
- •13.2.2 Статистический ряд распределения
- •13.2.3 Интервальный статистический ряд
- •13.2.4 Гистограмма
- •Лекция 14
- •14.1 Точечные оценки числовых характеристик
- •14.1.1 Оценка математического ожидания
- •14.1.2 Оценка начального момента
- •14.1.3 Оценка дисперсии
- •14.1.4 Оценка центрального момента
- •14.1.5 Оценка вероятности
- •14.2 Оценка параметров распределения
- •14.3 Интервальные оценки числовых характеристик
- •14.3.1 Доверительный интервал для математического ожидания
- •14.3.2 Доверительный интервал для дисперсии
- •14.3.3 Доверительный интервал для вероятности
- •Лекция 15
- •15.1 Проверка статистических гипотез
- •15.1.1 Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
- •15.2 Критерии согласия
- •15.2.1 Критерий Пирсона
- •15.2.2 Критерий Колмогорова
- •Лекция 16
- •16.1 Статистическая обработка двухмерных случайных величин
- •16.1.1 Оценка корреляционного момента
- •16.2.1 Гипотеза о равенстве математических ожиданий
- •16.2.2 Гипотеза о равенстве дисперсий
- •16.2.3 Гипотеза о равенстве законов распределения
- •Лекция 17
- •17.1 Оценка регрессионных характеристик
- •17.1.1 Метод наименьших квадратов
- •Практический раздел Контрольные работы Указания по выбору варианта
- •Контрольная работа №1. Теория вероятностей Задача 1. Случайные события. Вероятность события Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Основные комбинаторные формулы
- •Примеры
- •Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 4. Формула Бернулли Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 5. Дискретная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 6. Непрерывная случайная величина Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 8. Двухмерные случайные величины Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин Условия вариантов задачи
- •Методические указания
- •Примеры
- •Контрольная работа №2. Математическая статистика Задача 10. Обработка одномерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка закона распределения
- •Точечные оценки числовых характеристик
- •Интервальные оценки числовых характеристик
- •Проверка статистических гипотез
- •Примеры
- •Задача 11. Обработка двухмерной выборки Условие задачи
- •Методические указания
- •Оценка регрессионных характеристик
- •Примеры
- •8,74746;
- •8,86278
Методические указания
Пусть проводится опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) , образующих полную группу.Каждая из гипотез осуществляется случайным образом и представляет собой случайное событие. Вероятности гипотез известны и равны:
.
Рассмотрим некоторое событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез. Известны условные вероятности события А для каждой из гипотез:
Тогда полная вероятность события A определяется по формуле
. (3.1)
Пусть до проведения некоторого опыта об его условиях n можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) , образующих полную группу. Вероятности гипотезp(H1), p(H2), … p(Hn) до опыта (априорные вероятности) известны, причем .
Опыт произведен, и произошло некоторое событие А. Тогда определить апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез с учетом того, что произошло именно событие А можно определить по формуле Байеса
(3.2)
Примеры
Пример 3.1. Радиоприемное устройство имеет блок обработки сигналов, который позволяет отделить полезный сигнал от помехи без искажений. Если отношение уровня сигнала к уровню помехи менее 1,2, то вероятность выделить полезный сигнал без искажений равна 0,1, если отношение уровня сигнала к уровню помехи от 1,2 до двух, то вероятность – 0,8, а если превышает 2, то вероятность равна 1. Приемник принял сигнал, причем поступление сигнала с помехой любого уровня равновероятно. Найти вероятность того, что он будет обработан без искажений.
Решение. Определим событие А – приемник обработал сигнал без искажений. Выдвигаем гипотезы: H1 – приемник принял сигнал с отношение уровня сигнала к уровню помехи менее 1,2; H2 – приемник принял сигнал с отношение уровня сигнала к уровню помехи от 1,2 до двух; H3 – приемник принял сигнал с отношение уровня сигнала к уровню помехи более двух. Вероятности гипотез (т.к. по условию они равновероятны): . Определим условные вероятности событияА при каждой гипотезе: ,,. По формуле полной вероятности (3.1) найдем вероятность событияА :
Пример 3.2. Прибор состоит из двух блоков, работа каждого блока необходима для работы прибора. Вероятность безотказной работы в течении времени Т (надежность) первого блока равна р1 , второго – р2. Прибор испытывался в течении времени Т и отказал. Найти вероятность того, что отказал только первый блок, а второй исправен (р1= 0,5; р2 = 0,7).
Решение. Сформулируем событие А – оно состоит в том, что прибор отказал. Это событие может произойти при таких гипотезах: H1 – отказал только первый блок, а второй исправен; H2 – отказал второй блок, а первый исправен; H3 – отказал первый блок, отказал второй блок ; H4 – работает первый блок, работает второй блок. Как видим, гипотезы описывают сложные события. Для упрощения расчета вероятностей этих событий введем такие события: событие В1 – работает первый блок; событие В2 – работает второй блок. Тогда гипотезу H1 через эти события можно описать так: , где‑ противоположное событие, т.е. что блок не работает. Аналогично распишем и другие гипотезы:,,. Так как событияинезависимы, то вероятностей гипотез рассчитаем, используя теорему умножения вероятностей для независимых событий (2.5):
,
,
,
.
Необходимо найти условные вероятности события А при каждой гипотезе.
Тогда ‑ это условная вероятность того, что прибор вышел из строя, при условии, что первый блок отказал, а второй исправен. Видим, что событиеА всегда произойдет, если блок отказал, т.е. А – достоверное событие. Поэтому . Аналогично,. А вот при четвертой гипотезе событиеА никогда не выполнится, здесь А – невозможное событие и вероятность его .
Из условия задачи следует, что необходимо пересмотреть вероятность первой гипотезы, поэтому запишем формулу Байеса для первой гипотезы:Из полученного решения следует, что до появления событияА вероятность гипотезы H1 была равна . А с учетом появления событияА изменилась значительно, стала равной 0,538.