15.2 Критерии согласия

Критериями согласия называются критерии, используемые для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения.

Гипотеза о законе распределения выдвигается следующим образом.

1. Построить по вариационному ряду график эмпирической функции распределения и гистограммы по интервальным статистическим рядам (равноинтервальному и/или равновероятностному).

2. По виду графиков выдвинуть двухальтернативную гипотезу о предполагаемом (гипотетическом) законе распределения:

–величина X распределена по такому-то закону:

–величина X не распределена по такому-то закону:

где – плотность и функция распределения гипотетического закона распределения.

График эмпирической функции распределения должен быть похож на график функции распределения гипотетического закона, а гистограммы на график плотности гипотетического распределения .

3. Вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии и, используя метод моментов или метод максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения, где – число неизвестных параметров гипотетического закона распределения.

Оценки неизвестных параметров а, b равномерного распределения можно определить по формулам

или

где – первое и последнее значение вариационного ряда соответственно.

Оценку неизвестного параметра  экспоненциального распределения можно определить по формуле

Оценки неизвестных параметров нормального распределения можно определить по формулам:

4. Проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения при помощи критерия согласия.

15.2.1 Критерий Пирсона

Критерий согласия Пирсона () один из наиболее часто применяемых критериев. Алгоритм проверки гипотезы о законе распределения следующий.

1. По интервальному статистическому ряду (равноинтервальному или равновероятностному) вычислить значение критерия по формуле:

, (15.2)

где – объем выборки;

M – число интервалов интервального статистического ряда;

–частота попадания в j-й интервал;

–количество чисел в выборке, попадающих в j-й интервал;

p_j – теоретическая вероятность попадания случайной величины в j- й интервал при условии, что гипотеза верна:

. (15.3)

где ,– плотность и функция распределения гипотетического закона распределения.

При расчете p₁ и p_M в качестве крайних границ первого и последнего интервалов A₁, B_M следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения.

Величина распределена по закону, который называется распределением. Данное распределение не зависит от закон распределения величиныX, а зависит от параметра k, который называется числом степеней свободы:

(15.4)

где - гамма-функция.

Так как аналитическое выражение плотности распределения является довольно сложным, то в практике используют таблицу значений,

рассчитанных из уравнения , для различных значенийk.

2. Из таблицы распределения выбирается значение , где a - заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01), а k - число степеней свободы, которое определяется по формуле

,

где M – число слагаемых в формуле (15.2), т.е. число интервалов интервального статистического ряда,

s - число неизвестных параметров гипотетического закона распределения, оценки которых были определены по исходной выборке.

3. Если значение, вычисленное по формуле (15.2), больше, чем критическое значение, т.е. , то гипотезаH₀ отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.