15.2.2 Критерий Колмогорова

Алгоритм проверки гипотезы о законе распределения при помощи критерий согласия Колмогорова следующий.

1. На основании эмпирической функции распределения вычислить значение критерия Колмогорова

(15.5)

где – объем выборки;

–максимальный модуль отклонения эмпирической функции распределения от гипотетической функции распределения , определенный по всем n значения x_i исходной выборки.

Значение Z с достаточной точностью может быть определено по графикам функций и , которые стоят в одной системе координат.

Величина λ распределена по закону Колмогорова, который не зависит от закона распределения величины X,:

. (15.6)

Так как аналитическое выражение функции распределения является довольно сложным, то в практике используют таблицу значений,

рассчитанных из уравнения .

2. Из таблицы распределения Колмогорова выбрать критическое значение ,, гдеa - заданный уровень значимости (a = 0,05 или a = 0,01).

3. Если значение l, вычисленное на шаге 1, больше, чем критическое значение, т.е. l > l_g, то гипотеза отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Достоинствами критерия Колмогорова по сравнению с критерием c²: являются возможность его применения при очень маленьких объемах выборки (n < 20), более высокая "чувствительность", а следовательно, меньшая трудоемкость вычислений. Недостатком является то, что эмпирическая функция распределения F*(x) должна быть построена по несгруппированным выборочным данным, что затруднительно при больших объемах выборки. Кроме этого, следует отметить, что критерий Колмогорова можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции распределения F₀(x), но и все входящие в нее параметры Q₁, ..., Q_k. Такой случай сравнительно редко встречается на практике. Обычно из теоретиче­ских соображений известен только общий вид функции F₀(x), а входящие в нее числовые параметры определяются по данному статистическому материалу. При применении критерия c² это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы распределения k. Критерий. Колмогорова такого согласования не предусматривает. Если все же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения определяются по статистическим данным, критерий дает заведомо заниженные значения l; поэтому мы в ряде случаев рискуем принять как правдоподобную гипотезу, которая в действительности плохо согласуется с опытными данными.

Лекция 16

16.1 Статистическая обработка двухмерных случайных величин

Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из которых двухмерная случайная величина (X,Y) принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида {(х₁, у₁), (х₂, у₂),…,(х_n, у_n)}. Статистическая обработка опытных данных включает в себя обработку и анализ составляющих X и Y, как одномерных величин (см. лекции 1315), и вычисление оценок и анализ параметров, присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам. Как правило, определяются следующие оценки числовых характеристик случайной величины (X,Y):

оценки математических ожиданий:

; (16.1)

; (16.2)

оценки дисперсии:

(16.3)

(16.4)