5.2. Обслуживание вызовов простейшего потока при постоянной длительности занятия

Теория Кроммелина. Исходные данные задачи такие же, как и задачи, подробно рассмотренной в парагр. 5.1. На полнодоступный пучок емкостью(1) линий, работающий по системе с ожиданием, поступает простейший поток вызовов с параметром. Сохраняются предположения предыдущей задачи: вызовы, находящиеся на ожидании, обслуживаются в порядке очереди; поступающая на пучок из линий нагрузкау должна иметь значение, меньшее емкости пучка –y<. Отличие заключается только в законе распределения длительности обслуживания: вместо показательного распределения полагаем длительность обслуживания каждого вызова постоянной и равнойh. Длительность занятияh примем за единицу времени –h=1. Требуется определить функцию распределения длительности ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызоваp(>t).

Определим вначале вероятность р(<t). имея в виду, чтоp(>t)=1–p(<t). Пусть в моментt₀ система находится в состоянииk, т. е. в таком состоянии, при котором в системе на обслуживании и ожидании находится точноk вызовов. Еслиk< то за единицу времени, равнуюh, коммутационная система обслужит все эти вызовы, т. е. все вызовы, находящиеся в системе в моментt₀, к моменту (t₀+1) покинут систему. Если жеk>, то за каждую единицу времени (рис. 5.3) коммутационная система обслуживает точно вызовов; за время [t₀, t₀+1) будет обслуженоv вызовов, за время [t₀, t₀+2)–2 вызовов,..., за время [t₀, t₀+t)–t вызовов (в данном случаеt – целое число).

Нас интересует вероятность того, что вызов, поступивший в момент t₀, попадет на обслуживание в течение времени, меньшегоt. В моментt₀ система находится в состоянииk, рассматриваемый вызов переводит систему в состояние (k+1). Значит для того, чтобы<t необходимо выполнение условияk+1t+, при этом имеется в виду, что из всех (k+1) вызовов, находящихся в системе непосредственно после моментаt₀, t_ вызовов за времяt

окажутся обслуженными и покинут систему, а остальные  вызовов к моменту(t₀+t) попадут на обслуживание. Отсюдаkt+–1.

Введем обозначения: p_i(t₀) –вероятность того, что в моментt₀ система находится в состоянииiиa_k(t₀) –вероятность того, что в моментt₀система находится в состоянии, не превышающемk:

Аналогичными рассуждениями можно показать, что ф-ла (5.23) справедлива и в случае, если t– нецелое число.

Определим вероятность p_k(t₀) того, что в моментt₀ система находится в состоянииk. Искомую вероятность можно представить состоящей из двух слагаемых: из вероятностиp_k(t₀)₁ того, что в моментыt₀ система находится в состоянииk, если в момент(t₀–1) в системе нет очереди(k), и из вероятностиp_k(t₀)₂ того, что в моментt₀система находится в состоянииk, если в момент(t₀–1) в системе на обслуживании находятся и и на ожиданииrвызовов (k=+r). Рассматриваемые в моментt₀ события взаимно независимы. Поэтомуp_k(t₀)=p_k(t₀)₁+p_k(t₀)₂.

Определяем вероятность p_k(t₀)₁. В момент(t₀–1) в системе находится не более вызовов, вероятность этого событияa(t₀–1). Так как длительность обслуживания каждого вызоваh=1, то к моментуt₀ все эти вызовы будут обслужены и покинут систему. Ни один из вызовов, поступивших, в систему после момента(t₀–1), к моментуt₀ не завершится обслуживанием и останется в системе. Для того чтобы в моментt₀ система находилась в состоянииk, необходимо поступление за время [t₀–1,t₀) точноk вызовов. Согласно формуле Пуассона вероятность этого есть

Тогда

Аналогично определяем вероятность р_k(t₀)₂. В момент(t₀–1) в системе находится+r вызовов; вероятность этогоp_+r(t₀–1). К моментуt₀ за единицу времени систему покинут обслуженных вызовов. Для того чтобы в моментt₀ система оказалась в состоя-

Используя (5.23), находим вероятность того, что любой поступивший вызов попадет на ожидание и будет ожидать начала обслуживания больше времениt:

Система (5.24) решается методом производящих функций. Формула (5.25) для практических расчетов трудоемка. Поэтому на практике используются построенные Кроммелином семейства кривых р(>t)=f(t) для ряда значений и (=y/=/). На рис. 5.4 приведено семейство кривых для=1. Эти кривые показывают, что характер зависимостиp(y>t)=f(t) такой же, как и при показательном распределении длительности занятия: с увеличением времени ожиданиясвыше заданногоt уменьшается вероятностьp(>t). Однако количественные оценки рассматриваемой зависимости при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия существенно отличаются.

Однолинейная система; произвольное распределение длительности занятия. Полячек и Хинчин, независимо друг от друга, исследовали однолинейную систему с ожиданием, на которую поступают вызовы простейшего потока с параметром, и произвольным распределением длительности занятия. Вызовы обслуживаются в порядке очереди. Формула Полячека – Хинчина для среднего времени ожидания начала обслуживания любого вызова имеет следующий вид:

где t – среднее значение длительности занятия;_t – среднеквадратическое отклонение длительности занятия;у – интенсивность нагрузки, поступающей на однолинейную систему:y=t<1. Принимая значениеt за единицу времени (t=1), получаем

где – среднеквадратическое отклонение длительности занятия в условных единицах. За единицу времени принята средняя длительность занятияt.

При показательном распределении времени занятия=1 ф-лы (5.27) и (5.28) соответственно совпадают с (5.18) и (5.20), так как для однолинейного пучкаp(>0)=y. При постоянной длительности занятия=0

Таким образом, при постоянной длительности занятия среднее время ожидания в очереди любого вызова  и задержанного вызова_з вдвое меньше, чем при показательно распределенной длительности занятия.

Сравнение систем с ожиданием при постоянной и показательна распределенной длительностях занятия. При постоянной длительности занятия время ожидания начала обслуживания существенно меньше. Так, например, с вероятностьюр(>t) =0,005 при=0,5 Эрл и=5 времяt принимает значения 0,73 и 1,33, соответствующие постоянной и показательно распределенной длительностям занятия, т. е. время ожидания сокращается почти в 2 раза.

Среднее время ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызова при постоянной длительности занятия также меньше, чем при показательном распределении длительности занятия. Формула Полячека – Хинчина показывает, что в однолинейной системе среднее время пребывания вызова в очереди при постоянной длительности занятия в 2 раза меньше. С увеличением емкости пучка  это соотношение уменьшается, но оно всегда больше единицы. Так, при=1 и=0,9 Эрл отношение среднего времени пребывания в очереди при показательно распределенной и постоянной длительностях занятия составляет 1,74.

Пропускная способность систем с ожиданием при рассматриваемых распределениях длительности занятия иллюстрируется рис. 5.5, на котором показаны кривые=f() прир(>t) =0,005 для значенийt=1; 2. Сплошными линиями показаны кривые, соответствующие постоянной, и пунктирными – показательно распределенной длительностям занятия. Из рисунка видно, что системы с ожиданием при постоянной длительности занятия обладают более высокой пропускной способностью – использование приборов значительно выше. Так, задаваясь вероятностьюр(>t)=0,005 того, что время ожидания начала обслуживания превышаетt=1, интенсивность удельной поступающей нагрузки при=3 повышается с₁=0,25 Эрл при показательно распределенной до₂=0,45 Эрл при постоянной длительности занятия, т. е. на 80%, и приt=2– с ₁=0,43 Эрл до₂=0,65 Эрл, т. е. на 50%.

Однолинейная система; обслуживание ожидающих вызовов в случайном порядке. Выше были рассмотрены системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится в порядке очереди. В автоматических системах коммутации находят более широкое применение системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится при случайном выборе их из очереди.

Однолинейная система с постоянной длительностью занятия и случайным выбором из очереди ожидающих вызовов исследована Берком. Распределение времени ожидания p(>t)=f(t) в такой системе при=0,5; 0,7 и 0,9 Эрл приведено на рис. 5.6. Эти кривые показаны сплошными линиями. Для сравнения пунктирными линиями для тех же значений интенсивности поступающей нагрузки показано распределение времени ожидания в однолинейной системе с постоянной длительностью занятия и обслуживанием ожидающих вызовов в порядке очереди. Из рисунка видно, что для небольших значенийt качественные характеристики обслуживания ожидающих вызовов выше при случайном выборе их из очереди– при заданном времениt вероятностьр(>1) меньше или при заданной вероятностиp(>t) значениеt меньше. Так, например, при=0,9 Эрл иt=5 случайный выбор из очереди обеспечивает вероятностьр(>5)=0,26, а обслуживание в порядке очереди увеличивает эту вероятность дор₂(>5) =0,33.

Отмеченные закономерности справедливы для небольших значений t. Заметим, что именно эта область значенийt имеет практический интерес для существующих систем коммутации, в которых используются релейные и электронные управляющие устройства (маркеры) с близкой к постоянной длительностью обслуживания и значениями этой длительности в пределахh=0,05l с.

При больших значенияхt значения вероятностейр(>t) при случайном выборе из очереди существенно превышают соответствующие значения при обслуживании ожидающих вызовов в порядке очереди – с увеличениемtпо сравнению с обслуживанием в порядке очереди случайный выбор приводит к росту вероятности длительного ожидания. В перспективных системах коммутации (квазиэлектронных и электронных) длительности занятия управляющих устройств значительно уменьшаются (h<0,005 с), что позволяет без заметного ухудшения качества обслуживания вызовов допускать для некоторой доли вызовов ожидание доt=100 и более. В таких системах коммутации также сохраняется дисциплина выбора из очереди, близкая к случайной. В связи с этим важным является тот факт, что дисциплина выбора из очереди (в порядке поступления, в случайном порядке или любая другая дисциплина) не влияет на среднее время пребывания_>вызова на ожидании.

Дисциплина выбора из очереди в случайном порядке в области небольших значений t, как и дисциплина обслуживания вызовов в порядке очереди, приводит к более высоким качественным показателям обслуживания вызовов в системах с ожиданием при постоянной длительности занятия. Сравнение распределения времени ожидания(p(>t)=f(t)) в однолинейной системе при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия и случайном выборе ожидающих вызовов из очереди (=0,5; 0,7 и 0,9 Эрл) приведено на рис. 5.7.