9.3. Потери в двухзвеньевых схемах при отсутствии сжатия и расширения

При отсутствии сжатия (концентрации) и расширения число входов в каждый коммутатор первого звена п равно числу выходовт в каждом из этих коммутаторов. В данном случае для промежуточных линий, в соответствии с рассматриваемым методом, можно принять распределение Бернулли, так как число источников телефонной нагрузки, которыми являются входы, равно числу соединительных устройств (промежуточных линий). Если для выходов двухзвеньевой схемы можно также принять распределение Бернулли, что может быть справедливым при небольшом числе коммутаторов первого звена, тогдаW_i иH_m-iбудут иметь следующие выражения:

относя W_i к промежуточным линиям, получимW_i=Cⁱ_mbⁱ(1–b)^т-i гдеСⁱ_т – число сочетаний изт поi; b – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одной промежуточной линией, Эрл;

для вероятности Н_т-i, отнесенной к выходам, выражение имеет видН_т-i=с^m-i, гдес – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одним выходом рассматриваемого направления, Эрл.

Подставляя значения W_i иH_m-iв (9.1), получаем

Учитывая формулу бинома Ньютона, получаем

Если число коммутаторов k в первом звене велико, тогда для выходов рассматриваемого направления целесообразно принять распределение Эрланга. ОтносяW_i к направлению, аH_m-iк промежуточным линиям, получим

где у – интенсивность поступающей нагрузки на направление, Эрл. Подставляя эти выражения в (9.1), получаем

Вынося затем несуммирующиеся множители за знак суммы, находим

Используя указанное ранее обозначение для первой формулы Эрланга, получаем выражение для потерь в рассматриваемом случае:

Если для образования направления отводится в каждом коммутаторе второго звена q выходов, то для случая, когда и занятие выходов и занятие промежуточных линий можно описать распределением Бернулли, будем иметьW_i=Cⁱ_mbⁱ(1–b)^т-i; H_(m-i)q=c^(m-i)q. Подставляя эти выражения в (9.1) и учитывая формулу бинома Ньютона, получаем

Если занятие выходов подчиняется распределению Эрланга, а занятие промежуточных линий – распределению Бернулли, то в этом случае выражение для потерь при некоторых дополнительных ограничениях может быть преобразовано к виду

В соответствии с рассматриваемым методом данная формула может применяться и для дробных значений q.

Следует отметить, что выражения (9.8) и (9.9) имеют более общий вид и включают в себя соответственно (9.6) и (9.7), которые можно получить из первых двух, полагая q=1.

9.4. Потери в двухзвеньевых схемах при наличии сжатия или расширения

В схемах со сжатием (концентрацией) число входовп в коммутатор первого звена больше числа выходовm из этого коммутатора. В таких схемах потери возникают из-за наличия неудачных сочетаний занятых промежуточных линий и выходов, а также при поступлении на входы коммутатора первого звена болееm вызовов.

Если при q1 и распределении Бернулли для промежуточных линий и выходовW_i отнести к промежуточным линиям, аH_(m-i)q – к выходам рассматриваемого направления, то можно записатьW_i=Cⁱ_na^l(l–а)^n-iиН_(m-i)q=c^(m-i)q, гдеа– средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одним входом коммутатора первого звена. Потери для данного случая определяются следующим образом:

В этом выражении первое слагаемое учитывает потери из-за неудачных сочетаний при занятиях промежуточных линий и выходов, а второе – потери за счет поступления более т вызовов в один коммутатор первого звена.

Если искание свободных выходов в схемах сq>1 производить в два этапа, т. е. таким образом, чтобы в первую очередь занимались все выходы вq–1 столбцах (группах) выходов и только после этого занимались бы выходы последнего столбца (группы)q, то можно приближенно выразить потери для схем с концентрацией приq1:

где b=(п/т)а.

Для случая неупорядоченного занятия выходов в направлении достаточно точные результаты дает выражение (9.8).

Если для первого звена сохранить распределение Бернулли, а для второго звена принять распределение Эрланга, то для двухэтапного искания можно получить следующее приближенное выражение для потерь:

В схемах с расширением число входовп в каждый коммутатор первого звена меньше числа выходов m из коммутатора. В такой схеме число одновременных вызовов не превышаетп, а следовательно, меньшет, поэтому потери могут иметь место только за счет неудачных сочетаний занятых промежуточных линий и выходов. Если и для промежуточных линий и для выходов справедливо распределение Бернулли, то приq1 иW_i, отнесенном к промежуточным линиям, можно записатьW_i=Cⁱ_naⁱ(1–а)^п-i; Н_(т–i)q=с^(т-i)q. Подставляя значения этих вероятностей в (9.1), получаем

Учитывая формулу бинома Ньютона, получаем окончательное выражение для потерь:

Если, сохранив распределение Бернулли для промежуточных линий, принять распределение Эрланга для выходов, то для вероятности потерь в данном случае может быть получено выражение

Рассмотренные выше схемы относятся к случаю односвязного двухзвеньевого включения, при котором один коммутатор первого звена соединен с коммутатором второго звена одной промежуточной линией. При наличии fсоединительных путей между парой коммутаторов первого и второго звеньев многосвязная двухзвеньевая схема будет иметь вид, показанный на рис. 9.2.

Для многосвязных двузвеньевых схем в соответствии с комбинаторным методом считаются справедливыми все полученные выше формулы, если а заменить наa^f, ab заменить наb^f.