11.5. Метод укрупнения состояний пучков при определении характеристик управляющей информации

Для того чтобы управлять элементами сети (потоками, структурой или тем и другим элементами) в зависимости от состояния отдельных частей сети (пучков каналов передачи или каналов коммутации), необходимо располагать информацией о состояниях этих частей. Например, при применении обходных путей (см. па-рагр. 11.2) на сети по рис. 11.1 (если для установления соединения от станции А к станцииВ в пучкеАВ нет прямых каналов) можно воспользоваться каналами в обходных направленияхАСВ или ADB. При условии, что узелА располагает информацией о числе занятых линий в пучкахАС, СВ, AD и DB, можно выбрать наиболее эффективный путь установления соединения. Если же такой информации нет, то, устанавливая соединение по обходному путиАСВ и занимая для этого канал в пучкеАС, можно получить отказ в соединении из-за занятости всех каналов в пучкеСВ, в то время как по путиADB имеются свободные каналы во всех пучках. Таким образом, отсутствие информации о состоянии пучков в этом примере приводит к задержке установления соединения и к увеличению нагрузки на каналы, занимаемые напрасно.

Кроме того, известно, что использование обходных путей эффективно лишь до тех пор, пока нагрузка на каналы сети не превысит некоторое пороговое значение. При нагрузках выше этого порога целесообразно исключить возможность установления соединений по обходным путям. Для того чтобы реализовать такое управление сетью, необходима также информация о состоянии отдельных частей сети.

При получении и использовании указанной информации для управления сетью следует учитывать степень детализации передаваемой информации. Если передавать слишком подробные сведения о каждом состоянии сети (отличающиеся занятием или освобождением хотя бы одного канала), то во многих случаях данную информацию нельзя использовать из-за того, что смена таких состояний сети происходит быстрее, чем может быть передана информация об изменении состояний. С другой стороны, слишком длительное накопление информации об изменяющихся состояниях (укрупнение состояний) с последующей ее передачей не позволяет оперативно реагировать на эти изменения. Кроме того, нужно иметь в виду, что не всякая информация существенна для управления сетью, а слишком детальная информация излишне загружает каналы и управляющие устройства.

Аналогичные соображения имеют место при передаче информации о состояниях отдельных частей сети при управлении потоками (динамическом управлении) или управлении структурой сети (кроссовой коммутации).

При получении формулы Эрланга (см. гл. 4) для полнодоступного пучка с потерями рассматривались состояния, при которых в пучке из v линий занято ровноk любых линий. При выводе расчетных формул для звеньевых схем (см. гл. 8) использовались состояния с занятиемk определенных (фиксированных) линий. Как те, так и другие состояния являются макросостояниями полнодоступного пучка, и пребывание в таких состояниях сравнительно кратковременное.

В отличие от указанных состояний, можно рассматривать укрупненные состояния с k и более занятыми линиями,с k и менее занятыми линиями или с числом занятых линий, находящимся в некоторых границах междуk₁ иk₂. Информация о данных состояниях является полезной при управлении на сети, а среднее время пребывания пучка линий в одном из таких укрупненных состоя-ний значительно больше среднего времени пребывания в одном из указанных выше макросостояний. Увеличенное время пребывания пучка в укрупненном состоянии позволяет передать информацию до того, как она устареет, и уменьшить частоту и суммарный объем передаваемых сообщений.

Рассмотрим полнодоступный пучок из линий, на который поступает простейший поток вызовов с параметром. Предположим, что длительности обслуживания вызовов (время занятия линии для установления соединения и передачи информации) – взаимно независимые случайные величины с показательным распределением и средним значением 1/. При работе сети рассматриваемый полнодоступный пучок будет изменять свои состояния, отличающиеся числом занятых линий в пучке.

На рис. 11.5 приведена одна из возможных реализаций процесса изменения состояний пучка во времени. На оси ординат отложены значения числа занятых линий в пучке (t), которое изменяется в пределах 0(t), а на оси абсцисс – текущее время. На рисунке отмечено некоторое состояние сk занятыми линиями.

В течение случайного интервала времени, обозначенного _k, марковский процесс(t) изменения числа линий в рассматриваемом пучке будет находиться в состоянии сk и более(k и «выше») занятыми линиями, в течение случайного интервала времени_k-1 процесс находится в состоянии сk – 1 и менее(k – 1 и «ниже») занятыми линиями, а случайный отрезок времени_kбудет представлять собой длительность полного периода изменения состояний пучка рассматриваемогоk-гo уровня.

На рис. 11.5 высота каждой ступеньки реализации Процесса (траектории процесса) одинакова и выражает занятие или освобождение одной линии пучка. Ширина каждой ступеньки представляет собой время пребывания пучка в некотором состоянии i (i –число занятых линий) и является случайным интервалом времени, который распределен по показательному закону, так как лроцесс(t) является марковским.

Случайный интервал _kпредставляет собой время пребывания рассматриваемого пучка в состояниис k и более занятыми линиями (состояниеB_k, 1k).

Если в некоторый момент времени рассматриваемый пучок пришел снизу в состояние k, тогда дальнейшее поведение процесса (траектория) будет принадлежать только к одному из изображенных на рис. 11.6 типов. На этом рисунке показаны траектории процессаА₁A₂,...,A_j в пределах случайного промежутка времени_k, в течение которого пучок будет находиться в состоянииB_k (занятоk и более линий). При этом траекторияА₁ (рис. 11.6а) соответствует случайному времени пребыванияz_kв состоянииk с последующим уменьшением числа занятых линий (переход «вниз»); траекторияA₂(рис. 11.6б) содержит некоторое случайное времяz_k,1, в течение которого пучок находится в состоянииk, затем случайное время_k+1, в течение которого пучок находится в состоянииk и «выше», и, наконец, случайное времяz_{k, 2}, в течение которого рассматриваемый пучок будет находиться в состоянииk до перехода «вниз». Как видно из рис. 11.6, первый тип траектории не содержит «восхождений» в область состоянийk+1 и «выше», а второй тип траектории имеет одно «восхождение» в эту область. Аналогично третий тип траекторий будет содержать два «восхождения», а в общем случаеj-й тип траектории будет иметьj–1 «восхождений» (рис. 11.6в). Число случайных интервалов пребывания в состоянииk для траекторииa_j будет равноj. Далее используется взаимная независимость случайных величин типаz и, а также справедливость показательного распределения интервалов типаz. Принимая во внимание, что условные вероятности перехода пучка в некоторый момент из состоянияiв «верхнее» состояниеi+1 и «нижнее» состояниеi–1 (при условии, что в этот момент произойдет изменение состояния) равны соответственно/(+i) и i/(+ i), а условные вероятности перехода «вверх» из состояния 0 и «вниз» из состояния равны единице, можно найти функцию распределения случайных величин_k, т. е.F_k(t)=p{_kt}, которая представляет собой гиперэкспоненту.

Для среднего времени пребывания пучка в состоянии с k и более занятыми линиями (состояниеВ_k) может быть получено рекуррентное выражение следующего вида:

Учитывая, что _=l/, а_+1=0, из системы ур-ний (11.7) можно найти ть в явном виде:

где у=/. Аналогичными рассуждениями можно получить стационарное распределение вероятностей случайной величины_k, т. е. времени пребывания пучка в состоянии сkи менее занятыми каналами (состояниеH_k), а также рекуррентное соотношение для среднего времени пребывания в этом состоянии:

Принимая во внимание, что t_-1=0, можно получить выражение дляt_k в явном виде:

Если _k–длительность случайного интервала времени между соседними моментами перехода в состояниеk «снизу» (длительность периода), то_k=_k+_k-1. Учитывая, что случайные величины_kи_k-1независимы, для средней длительности периода справедлива формула

для любого к = 1,...,.

Анализ выражений, полученных для средних значений рассматриваемых интервалов времени, показывает, что время пребывания в укрупненных состояниях существенно больше времени пребывания в макросостояниях, и поэтому информация о наступлении таких укрупненных состояний за время ее передачи не успевает устареть. Во многих случаях управления на сети (в частности, при установлении соединений по обходным путям) необходимо передавать именно такую информацию о наступлении состояний B_k или H_k, поскольку принятие решения о запрещении или разрешении пользоваться обходными путями зависит от этих укрупненных состояний.

Следует также указать, что во многих случаях управления на сети связи границы принятия противоположных решений (например, запрещения и разрешения использования обходных путей) должны отличаться друг от друга, т. е. должна существовать определенная полоса, в которой при пересечении ее нижней границы снизу алгоритм функционирования остается прежним до пересечения верхней границы, после чего алгоритм меняется. При пересечении верхней границы сверху измененный алгоритм сохраняется до пересечения нижней границы рассматриваемой полосы. Только после ее пересечения восстанавливается первоначальный алгоритм. В этом случае определение среднего времени работы одного из алгоритмов сводится к использованию изложенных выше результатов.