8.7. Формула Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы

Рассмотрим следующую модель:

в выходы одвозвеньевой идеально симметричной неполнодоступной схемы с доступностью d включено линий;

на входы схемы поступает простейший поток вызовов с параметром ;

длительность обслуживания является случайной величиной, распределенной по показательному закону F(t)=1–е^–t;

если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой нет доступа к свободной линии (все d линий заняты), то вызов теряется. Требуется определить вероятность потерь.

Как было указано в гл. 4, для любого однородного транзитивного марковского процесса с конечным числом состояний переходныe вероятностиp_ji(t) того, что система, находившаяся в состоянииj, за времяt перейдет в состояниеi, имеют предел, не зависящий от начального состоянияj. ЕслиV(t) –число занятых линий в неполнодоступном пучке в момент времениt, тоV(t) является случайным процессом с конечным числом состояний, поскольку число линий в НС конечно.

ПроцессV(t) является марковским, так как будущее течение его не зависит от прошлого, если известно настоящее, т. е. известно V(t₀). Кроме того, этот процесс является однородным, поскольку переходные вероятностир_ji(t) зависят лишь от длины интервалаt=t₂–t₁ и не зависят от расположения интервала на оси времени (т. е. отt₂иt₁). И, наконец,V(t) является транзитивным марковским процессом. Это следует из того, что возможен переход из любого состоянияjв любое состояниеi пучка. Иначе говоря, переходная вероятностьp_ji(t) отлична от нуля. Последнее можно подтвердить следующими соображениями. Если разбить интервалt на две части, то вероятность перехода из состоянияjв нулевое состояние за первую часть интервала при условии, что не поступит ни одного вызова и освободятся всеjзанятых линий пучка, будет отлична от нуля. Точно так же вероятность перехода системы из нулевого состояния в состояниеi (если произойдетi занятий и ни одного освобождения) за вторую часть интервала будет также отлична от нуля. Переходная вероятностьP_ji(t) не меньше произведения вероятностей переходов из состоянияjв нулевое состояние и из нулевого состояния в состояниеi и поэтому отлична от нуля.

В общем случае неполнодоступная схема, в выходы которой включено  линий, имеет 2^микросостояний. Для идеально симметричной схемы достаточно рассмотреть только+1 макросостояний аналогично тому, как это имеет место для полнодоступного пучка.

Запишем параметры потоков рождения и гибели (занятий и освобождений линий) для рассматриваемого процесса (рис. 8.6). Так как на входы схемы поступает простейший поток вызовов, то при i<d ₀=_= ... =_d-1=. Переход из состоянияd в состояниеd+1 возможен только в том случае, если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой не занята хотя бы одна изd доступных линий. Если же вызов поступит от источника нагрузочной группы, в которой заняты всеd доступных линий, то вызов теряется. Обозначим через_i условную вероятность потери вызова приi занятых линиях. В идеально симметричной неполнодоступной схеме приi<d _i=0, а приid _i>0. Тогда вероятность того, что в состоянииiпоступивший вызов займет свободную линию, будет равна 1–_i.

Следовательно, для id _i,=(1–_i). Таким образом,

Параметр потока освобождений

По аналогии с (4.12) при конечном числе состояний стационарные вероятности состояний определяются следующими выражениями:

Подставляя (8.16) и (8.17) в (8.18) и учитывая, что для i<.d _i=0, получим

Для получения выражения для вероятности потерь воспользу-

емся формулой полной вероятности:

Так как при i<d _i=0, то

Подставляя в (8.20) выражение для р_i из (8.19), получим

В (8.21) приx<d. Для того чтобы воспользоваться (8.21), необходимо вычислить_i.

В общем случае для произвольной НС условные вероятности _iзависят не только от числаi занятых выходов, но и от интенсивности поступающей нагрузки, структуры НС и алгоритма установления соединения. Для практически используемых НС определение условных вероятностей_iпредставляет собой сложную комбинаторную задачу. Определение всех_i в данном случае практически невозможно из-за большого числа состояний системы.

Особое место среди НС занимают идеально симметричные неполнодоступные схемы, так как в этих схемах число нагрузочных групп g=C^d_ и занятиеd фиксированных линий блокирует одну определенную нагрузочную группу (C^d_d=l).

Определим для идеально симметричной схемы число нагрузочных групп, блокируемых в состоянии i занятых выходов, еслиid. Очевидно, что число заблокированных групп равно числу способов выбораd выходов изi занятых выходов, т. е.C^d_i. Следовательно, условная вероятность того, что приi занятых выходах идеально симметричной НС поступающий вызов попадает в заблокированную группу, равна отношению числа заблокированных групп к общему числу групп. Поэтому условная вероятность блокировки_i будет равна

Соотношение (8.22) справедливо, если возможные размещения свободных и занятых линий равновероятны, что имеет место в силу симметрии идеальной НС. Подставляя выражение для _iв формулу для потерь (8.21), получим

Эта формула называется формулой Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы. Иногда ее называют третьей формулой Эрланга и обозначаютB_,d(у). Формула (8.23) табулирована [30].