6.2. Предельная величина интенсивности поступающей нагрузки
В отличие от системы с потерями, в системе с повторными вызовами на коммутационную систему может поступать только такой поток вызовов, который с учетом повторных вызовов может быть обслужен. Иными словами, чтобы не создавалось неограниченного количества необслуженных первичных и повторных вызовов, необходимо, как и в системе с ожиданием, ввести следующее ограничение:
Величина определяется из соотношения
где t – средняя суммарная длительность занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова с учетом того, что для его обслуживания источник может производить и повторные вызовы (величинаt должна учитывать также вызовы, которые остаются не полностью обслуженными, т. е. не завершаются вторым этапом обслуживания – разговором), ас – интенсивность потока первичных вызовов в течение 1 ч.
Первичные и повторные вызовы, поступающие в моменты занятости всех линий пучка, не занимают линий пучка. Поэтому на величинуt влияют только вызовы, попадающие, по крайней мере, на первый этап обслуживания. При первом этапе обслуживания одного вызова среднее время занятия линии пучка равноt, а при вторам этапе обслуживания с вероятностью–t. Среднее время занятия линии для обслуживания каждой такой попытки составляетt+t.
Если обозначить через Lсреднее число попыток на первом этапе обслуживания с целью полного обслуживания одного вызова, то величинаt составит
Определим величину L. Вызов первый раз поступает на первый этап обслуживания. С вероятностьюданный вызов не попадает на второй этап обслуживания. При этом вероятность того, что источник указанного вызова осуществляет повторный вызов, равнаH. Следовательно, с вероятностьюHпоступает повторный вызов.
Снова с вероятностью этот повторный вызов не поступает на второй этап обслуживания и с вероятностьюHисточник производит новый повторный вызов, т. е. с вероятностью (H)2источник производит новый повторный вызов и т. д. Таким образом,
Заметим, что, если мера настойчивости источника H=1 (=0), то
Из этого следует, что среднее число попыток на первом этапе обслуживания, которые производит источник до полного обслуживания вызова, зависит только от вероятности и не зависит от параметрапотока повторных вызовов.
Используя (6.3) и (6.4) либо (6.5), ф-лу (6.2) можно привести к виду
Принимая за единицу времени именно среднее суммарное время занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова t, находим, что интенсивность потока за такую единицу времени=ct. Для простейшего потока интенсивностьравна его параметру, что позволяет величину определять отношением
6.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами
П
роцесс
обслуживания коммутационной системой
первичных и повторных вызовов является
марковским процессом. Используя его
частный случай – процесс рождения и
гибели, исходим из того, что за время0 с конечной
вероятностью в системе не может произойти
более одного из следующих событий:
поступления одного первичного или
одного повторного вызова; окончания
первого или второго этапа обслуживания
одной линией пучка; прекращения одним
из источников попыток добиться второго
этапа обслуживания.
Вероятность поступления за время т точно одного первичного вызова определена в гл. 4 и составляет +о(),0; аналогично этому вероятность поступления за времяточно одного повторного вызова при наличииk источников повторных вызовов равнаk+о(),0. Вероятность окончания за времяпервого этапа обслуживания одной изiзанятых таким обслуживанием линий естьi+о(),0; аналогично этому вероятность окончания второго этапа обслуживания одной из (j–i) занятых таким обслуживанием линий равна (j–i)+о(),0. Вероятность прекращения одним изk источников повторных вызовов попыток добиться второго этапа .обслуживания составляетk+o(), 0.
Пусть коммутационная система в произвольный момент (t+) должна находиться в состоянии(i, j, k), в котором в пучке занятоi линий первым иjлиний первым и вторым этапами обслуживания и в системе находитсяk источников повторных вызовов. Диаграмма состояний и переходов процесса обслуживания приведена на рис. 6.1. Обозначим черезpi,j,k(t+) иpi,j,k(t) вероятности того, что система соответственно в моменты(t+) иt находится в состоянии(i, j, k). Для значенийi=0, 1, ....j;j=0, 1, ...,–1;k= 0, 1, 2, ... коммутационная система к моменту (t+) может перейти в состояние(i, j, k) за время(t, t+), 0, с конечным значением вероятности из следующих состояний системы в моментt:
1. Система в момент t находится в состоянии(i–1,j–1,k) и за времяна систему поступает первичный вызов. Вероятность такого событияpi,j,k(t+)1=pi-1,j-1,k(t)+o().
2. Система в моментt находится в состоянии (i–1,j–1,k+1) и за времяот одного из(k+1) источника повторных вызовов поступает повторный вызов. Вероятность такого событияpi, j, k(t+)2=pi-1, j-1, k+1(t)(k+1)+о().
3. Система в момент tнаходится в состоянии(i, j, k+1) и за времяодин из(k+1) источника повторных вызовов покидает систему, не добившись второго этапа обслуживания вызова. Вероятность такого событияpi, j, k(t+)3=pi, j, k+1(t)(k+1)+o().
4. Система в момент t находится в состоянии (i+1,j, k) и за времяодин из (i+1) вызовов перейдет с первого ко второму этапу обслуживания. Вероятность такого событияpi, j, k(t+)4=pi+1, j, k(t)(i+1)+о().
5. Система в момент t находится в состоянии (i+1,j+1,k–1) и за времяпосле первого этапа обслуживания освобождается одна из (i+1) линий. Вероятность такого событияpi,j,k(t+)5=pi+1, j+1,k-1(t)(i+1)+o().
6. Система в моментt находится в состоянии(i, j+1, k) и за времяосвободится одна из (j+1–i) линий, занятых вторым этапом обслуживания. Вероятность такого событияpi,j,k(t+)6=pi,j+1,k(t)(j+1–i)+о().
7. Система в момент tнаходится в состоянии(i, j, k) и завремяне происходит изменения состояния системы, т. е. за времяне поступает ни одного первичного и ни одного повторноговызова, не изменяется состояние ни одной из линий, занятых первым этапом обслуживания, и ни одной из (j–i) линий, занятыхвторым этапом обслуживания, а также ни один изk источниковповторных вызовов не покидает систему. Вероятность такого событияpi, j, k(t+)7=pi, j, k(t)[1––k–i–(j–i)–k]+о().
Имея в виду, что перечисленные события, приводящие коммутационную систему к моменту (t+) в состояние(i,j,k), вза-имио независимы, можно записать
Систему уравнений вероятностей состояний модели (6.9) необходимо дополнить уравнениями, в которых состояния коммутационной системы в момент (t+) характеризуются занятостью всех линий пучка первым и вторым этапами обслуживания вызовов, т. е. состояниями(i, , k), в которыхj=и соответственно вероятность которых естьpi,,k(t+).
Производя над общей системой уравнений pi,j,k(t+) иpi,,k(t+) точно такие же преобразования, которые произведены в гл. 4 над системой уравнений вероятностей состояний полнодоступного пучка, обслуживающего симметричный поток вызовов, получаем систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний коммутационной системыpi, j, kиpi,,k.