Контрольные вопросы

1. Определите вероятности состояния полнодоступного пучка линий, работающего по системе с ожиданием при показательном распределении длительности занятия.

2. Напишите вторую формулу Эрланга. От каких параметров согласно этой формуле зависят условные потери р_t?

3. Каков характер зависимостей между величиной интенсивности поступающей нагрузки у, емкостью полнодоступного пучка линий и условными потерямиp_t в системе с ожиданием? Сопоставьте характер и количественные оценки этих зависимостей в системе с ожиданием и в системе с потерями.

5. Каков характер зависимости p(>t)=f(t) для значений₁>₂>₃при=const? Сопоставьте эти зависимости с зависимостямиp_з(>t)=f(t) Для техже значенийи.

6. В чем сущность величины t*? Покажите характер зависимостиt*=f() при=const. Приведите логический анализ и количественные оценки рассматриваемой зависимости.

7. Выведите формулы, определяющие математические ожидания времени, ожидания начала обслуживания для любого вызова и вызова, поступающего на ожидание_з. Приведите количественные оценки этих характеристик.

8. В чем заключается сущность теории Кроммелина?

9. Сопоставьте характер распределения времени ожидания и пропускную способность систем с ожиданием при обслуживании ожидающих вызовов в порядке поступления для двух распределений длительности занятия: постоянного и показательно распределенного.

10. Приведите формулу Полячека – Хинчина для среднего времени ожидания начала обслуживания в однолинейной системе с произвольным распределением длительности занятия. Какой вид получает эта формула при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия?

11. Сопоставьте распределение времени ожидания начала обслуживания при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия для двух дисциплин выбора ожидающих вызовов из очереди: в случайном порядке и порядке поступления.

12. Укажите рациональную область применения систем с ожиданием.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

Полнодоступный пучок. Система с повторными вызовами

6.1. Постановка задачи

В моделях систем с потерями вызов, поступивший в момент занятости всех линий пучка, теряется и в последующем никакого воздействия на коммутационную систему не оказывает. Такая модель процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов существенно отличается от реальных условий. В реальных коммутационных системах с потерями вызов теряется, если он поступает в момент занятости всех линий пучка, способных обслужить этот вызов, но источник этого первичного вызова, как правило, не отказывается от обслуживания, а осуществляет повторные вызовы (попытки) с целью добиться требуемого обслуживания. По существу, сообщения между вызывающими и вызываемыми абонентами в большинстве случаев не теряются, происходит лишь задержка в обслуживании, т. е. по аналогии с системами с ожиданием в таких случаях возникают условные потери.

Повторные вызовы, поступающие на коммутационную систему, вызваны не только потерей первичных вызовов из-за отсутствия свободных соединительных путей в моменты поступления вызовов. Более существенными являются другие причины, из-за которых устанавливаемые для обслуживания поступающих вызовов соединения не завершаются передачей сообщения (разговорным состоянием). Этими причинами являются: занятость линии вызываемого абонента, неответ вызываемого абонента, ошибки вызывающего абонента в процессе набора номера, неустановление соединения по техническим причинам (из-за попадания на неисправный прибор). Если на городских телефонных сетях из-за отсутствия свободных соединительных путей теряется 0,02–0,03 всех поступающих вызовов, то по другим перечисленным причинам не завершаются разговором 0,35–0,5 и более всех поступающих вызовов.

Исследованию системы с повторными вызовами в последнее время уделяется значительное внимание, однако полученные результаты по причине различных исходных позиций не нашли еще общего признания. Вместе с тем система с повторными вызовами более, чем любая другая изученная модель процесса обслуживания коммутационными системами поступающих вызовов, близка к реальным условиям функционирования системы. По этой причине в настоящей главе кратко излагается одно из решений рассматриваемой задачи.

В модели системы с повторными вызовами различаются два этапа обслуживания вызова. Первый этап обслуживания характеризуется занятием коммутационной системы (линии пучка), процессом установления соединения и его разъединения независимо от того, чем завершается это соединение – разговором, занятостью линии вызываемого абонента, неответом вызываемого абонента и т. д. Второй этап обслуживания характеризуется разговорным состоянием соединения. Вызов считается обслуженным, если он завершился вторым этапом – разговором. Вызов считается необслуженным, если обслуживание его завершается первым этапом. Источник такого вызова с заданной вероятностью осуществляет повторный вызов.

На полнодоступный пучок емкостью  линий поступают первичные вызовы, образующие простейший поток с параметром. Вызов, поступивший в момент отсутствия в пучке свободных линий, не обслуживается. Если в пучке имеется хотя бы одна свободная линия, то происходит первый этап обслуживания источника, осуществившего этот вызов. После окончания первого этапа обслуживания либо по этой линии происходит второй этап обслуживания (разговор), либо линия освобождается и вызов остается необслуженным. Вероятность того, что вызов останется необслуженным, обозначим, а вероятность того, что вызов будет полностью обслужен, –=1–.

Длительность занятия линии первым и вторым этапами обслуживания вызова распределена по показательному закону с параметрами соответственно и, и, следовательно, средние значения времени обслуживания первым и вторым этапами равныt_=1/иt_=1/.

Абоненты, вызовы которых не обслуживаются по причине отсутствия свободных линий в пучке или завершились только первым этапом обслуживания, являются источниками повторных вызовов. От каждого такого источника поступают повторные вызовы, образующие простейший поток с параметром . Если в течение заданного времени источник не производит повторного вызова, то рассматриваемый вызов теряется окончательно. Это время примем распределенным по показательному закону с параметром.

Таким образом, время, в течение которого источник принимает решение произвести повторный вызов или окончательно отказаться от обслуживания неудачно сделанного им вызова, распределено, по показательному закону с параметром +Отсюда среднее время существования источника повторных вызовов, равное среднему времени между двумя соседними попытками источника добиться обслуживания своего вызова, составляетz=1/(+). При этом с вероятностьюH=/(+) источник производит повторный вызов и с вероятностью 1–H=/(+) отказывается окончательно от обслуживания. ВероятностьHопределяет меру настойчивости источника добиться полного обслуживания вызова.

Требуется определить вероятности состояний коммутационной системы.