9.2. Комбинаторный метод. Полнодоступное включение выходов
Рассмотрим на примере односвязной двухзвеньевой схемы, приведенной на рис. 9.1, комбинаторный метод расчета, разработанный шведским ученым Якобеусом.
Число выходов из каждого коммутатора звена В этой схемы для направленияHjравно единице(q=1). Будем считать, что к рассматриваемому моменту времени вызов поступил на один из входов схемы, к примеру на второй вход первого коммутатора.
Установление соединения через схему, т. е. между определенным входом и одним из выходов рассматриваемого направления Hj, заключается в использовании одной из свободных промежуточных линий и одного из свободных выходов требуемого направления, взаимно доступных друг другу. Для обслуживания поступившего вызова в рассматриваемом случае могут быть использованыт промежуточных линий ит выходов требуемого направления, которые выделены на рис. 9.1 жирными линиями. Соединение может быть установлено, если имеется пара свободных и взаимно доступных звеньев. Если такой пары нет, то наступают потери соединений.
Таким образом, потери возникают в трех случаях: 1) если заняты все промежуточные линии, которые могут быть использованы для поступившего вызова; 2) если заняты все выходы в требуемом направлении; 3) когда возникают неудачные комбинации свободных промежуточных линий и свободных выходов.
Если считать, что рассматриваемый вызов поступил на отмеченный вход первого коммутатора в момент, когда i промежуточных линий изт, подключенных к выходам данного коммутатора, заняты, то для подключения входа к одному из выходов требуемого направления могут быть использованы только оставшиесят–iпромежуточных линий. Если же выходы требуемого направления, соответствующие этимт–i линиям, заняты, то наступят потери. Это утверждение справедливо для любогоi, лежащего в пределах 0im, и охватывает два случая занятости: всех промежуточных линий (i=m) и всех выходов в направлении (i=0).
Если вероятность занятия любых i изmпромежуточных линий, принадлежащих одному коммутатору первого звена, обозначить черезWi, а вероятность занятия определенныхт–i выходов (соответствующих свободным промежуточным линиям) – черезНт-i, то в соответствии со сказанным можно записать следующее выражение для потерь1:
Записанная формула справедлива при выполнении следующих двух предположений:
1. Независимость событий, описываемых вероятностями WiиHm–i. (Предположения являются условными, так как промежуточные линии и выходы занимаются парами.)
2. Случайное (равновероятное) занятие промежуточных линий и выходов. При этом все вероятности занятия i промежуточных линий считаются в (9.1) равными между собой вне зависимости от того, какиеi изт линий заняты. (При наличии определенного порядка занятия промежуточных линий это предположение несправедливо.)
Для подсчета потерь в соответствии с выражением (9.1) необходимо знать вероятности Wi иНт-i, т. е. функции распределения вероятностей занятия промежуточных линий и выходов.
Комбинаторный метод Якобеуса предусматривает использование распределений Эрланга и Бернулли. При использовании распределения Эрланга вероятность занятия i любых соединительных устройств в пучке изmтаких устройств при интенсивности нагрузкиу Эрл на пучок принимается равной
а вероятность занятия m–i фиксированных соединительных устройств в пучке из m устройств
где выражение Ет(у) –это потери в полнодоступном пучке изт соединительных устройств при интенсивности нагрузкиу Эрл на пучок, вычисленные по формуле Эрланга, т. е.
a Ei(y) –потери при той же интенсивности нагрузки в пучке изi соединительных устройств, т. е.
При использовании распределения Бернулли (биномиальное распределение) вероятность Wiзанятияi любых соединительных устройств в пучке изт устройств при интенсивности нагрузкиу Эрл на пучок принимается равной
где Сim– число сочетаний изт поi; – средняя нагрузка, обслуженная одним соединительным устройством в пучке.
Вероятность Hm-i занятият–i фиксированных соединительных устройств при тех же условиях принимается равной
Распределение Эрланга предполагает неограниченное число источников нагрузки, а (9.2) и (9.3) основываются на интенсивности поступающей нагрузки. Распределение Бернулли предполагает ограниченное число источников нагрузки, не превышающее число соединительных устройств, а в (9.4) и (9.5) входит обслуженная нагрузка.
Естественно, что величина вероятности потерь при использовании различных распределений получится различной. Метод рекомендует принимать распределение Эрланга при определении вероятности занятия тех соединительных устройств, для которых число источников нагрузки больше числа соединительных устройств. Использование распределения Бернулли считается целесообразным при числе источников нагрузки, примерно равном числу соединительных устройств, для которых определяются вероятности занятия.
Расчетные формулы для определения вероятности потерь в двухзвеньевой схеме можно получить, если в общее выражение для потерь (9.1) подставить выражения для WiиHm-i.