ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ

ЛЕКЦИЯ № 1

Гармонические колебания

Понятие о колебательных процессах. Упругие и квазиупругие силы. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Энергия колебаний

§ 1. ПОНЯТИЕ О КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССАХ

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Колебания – это наиболее распространенная форма движения в окружающем нас мире.

Взависимости от физической природы, колебания подразделяют на механические, электромеханические, электромагнитные и т. д.

Взависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают:

1. Свободные, или собственные колебания – это такие колебания,

которыепроисходят в системе после того, как она была выведена из положения равновесияи предоставлена самой себе. Свободные колебания бывают затухающими и незатухающими;

2. Вынужденные колебания – это такие колебания, в процессе которых

колеблющаясясистема подвергается воздействию внешней периодически изменяющейсясилы (например, раскачивание качелей).

Большой интерес представляют гармонические колебания, так как любое повторяющееся движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний Амплитуда. Фаза. Круговая частота

Гармонические колебания – это такие колебания, при которых колеблющаясявеличина x изменяется со временем по закону синуса либо

косинуса:
x(t) = A ×cos(wt + a),	(1.1)
или
x(t) = A ×sin(wt + a),	(1.1а)

где x(t) – отклонение или смещение колеблющейся величины от положения равновесия;

A – амплитуда, т. е. наибольшее отклонение от положения равновесия (амплитуда всегда положительна);

(ωt + α)– фаза колебания – это аргумент периодической функции, определяющей смещение;

α – начальная фаза, т. е. значение фазы в начальный момент времени (при t

= 0);

ω – круговая, или циклическая частота.

При изменении аргумента косинуса либо синуса (т. е. фазы) на 2π эти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток времени T,

в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π, откуда: ω(t + T) + α = ωt + α + 2π, или ωT = 2π.

	T =	2π		.	(1.2)
		ω

Время Tодного полного колебания называется периодом колебания. Частотой ν называют число колебаний в единицу времени, т. е. величину, обратную периоду:

		ν ≡			1			.		(1.3)
					T
										герц (Гц), 1 Гц = 1 с–1 .
		Единица измерения частоты –
		Так как из (1.2) следует, что:
		ω =		2π		,				(1.4)
				T
		то
		ω = 2πν							.	(1.5)
		Круговая, или циклическая частота ω в 2π раз больше частоты колебаний
	ν . Круговая частота – это									скорость изменения фазы со временем.
	Действительно:
		d	(ωt + α) = ω .							(1.6)

dt

График гармонического колебания (1.1) представлен на рис. 1.1.

x(t)	A
A cos α
	t
	T
	Рис. 1.1

§ 2. УПРУГИЕ И КВАЗИУПРУГИЕ СИЛЫ

Выясним, какие силы вызывают гармонические колебания. Рассмотрим пружинный маятник массы m, совершающий колебания вдоль оси х (рис. 1.2, б). Силу найдем по второму закону Ньютона (см. ч. 1, (4.4)):

F = ma.

В проекциях на ось х:
ma = F .									(1.7)
Ускорение:
			dv		d	2	x	∙∙
a = a x =				=				= x,	(1.8)
			dt dt 2
скорость колеблющегося тела:
v =	dx	.
	dt
Тогда, с учетом (1.1):
v = −Aωsin(ωt + α);									(1.9)
a = −Aω2 cos(ωt + α).									(1.10)

Подставим (1.10) в (1.7) и учтем (1.1), тогда:

F = −mAω2 cos(ωt + α) = −mω2 x.

Следовательно, сила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена против смещения. Такому условию удовлетворяют упругие силы

(см. ч. 1, (4.8)):

Fупр = −k упрx,

(1.11)

где k упр– коэффициент упругости.

Гармонические колебания могут быть вызваны также силами, которые не являются упругими по своей природе, но подобны упругим по характеру зависимости от координат. Такие силы называют квазиупругими

F = −kx.

(1.11а)

Любые силы будут квазиупругими, если отклонение от положенияравновесия мало. Например, колебания с небольшой амплитудой груза на нити или пружине, вагона на рельсах, фундамента здания и т. д.

Вывод. Если колебания гармонические, то они совершаются под действием упругой или квазиупругой силы.

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Составим уравнение движения груза на пружине (рис. 1.2, б). Уравнением движения является второй закон Ньютона (1.7). Подставим (1.8) и (1.11) в (1.7):

m		d 2 x			= −k		упрx .	(1.12)
		dt 2
После несложных преобразований получаем:
∙∙
	x +		k упр			x = 0.
				m
Введем обозначение:
	k упр			≡ ω02 .				(1.13)
	m
Тогда:
∙∙
	x + ω2 x = 0.							(1.14)
0
Уравнение							(1.14)	представляет собой дифференциальное уравнение

гармонических колебаний. Функция (1.1) или (1.1а) представляет собой его решение: если в дифференциальное уравнение (1.14) подставить функцию (1.1) или (1.1а), то уравнение обращается в тождество. Колеблющейся величиной является х – координата груза.

Такого же вида уравнение получается, например, для колебания заряда q в

колебательном контуре.			Колебательный контур	– это электрическая схема,
состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С (рис. 1.2,
а).
Для колебательного контура:
ω02 =	1	.	(1.15)
	LC
Другой пример. В			качестве колеблющейся	величины может быть угол

отклонения ϕ физического маятника, совершающего малые колебания.

Физическиммаятникомназывают любое тело, совершающее колебания вокруг горизонтальнойоси, не проходящей через центр тяжести. Для физического маятника (рис. 1.2, в) вводятся следующие обозначения:

m –	масса физического маятника;
I –	момент инерции (см. ч. 1, (8.5));
L –	расстояние от оси вращения до центра тяжести;
g –	ускорение свободного падения.
Для физического маятника:
ω02 =		mgL	.	(1.16)
		I

На рис. 1.2 изображены три колебательные системы.

Колеблющиеся величины для систем, показанных на рис. 1.2, следующие: q – заряд, x– координата грузика, ϕ – угол отклонения.

Введем обобщенную координату ξ, понимая под ней отклонение любой физической величины от положения равновесия:

q ≡ ξ ,

x ≡ ξ ,

ϕ ≡ ξ .