ЛЕКЦИЯ № 17

Классическая электронная теория дисперсии

Связь показателя преломления с дипольным моментом молекулы. Связь дипольного момента молекулы с напряженностью поля световой волны. Уравнение движения электрона в атоме под действием световой волны и его решение.

Зависимость показателя преломления от частоты. Групповая и фазовая скорости

Последовательное описание взаимодействия света с веществом возможно только в рамках квантовой теории. Однако, во многих случаях можно ограничиться описанием в рамках волновой (электромагнитной) теории излучения и классической электронной теории, согласно которой каждую молекулу среды можно рассматривать как систему зарядов, имеющих возможность совершать гармонические колебания, т. е. как систему осцилляторов с различными собственными частотами и коэффициентами затухания. Движение этих осцилляторов можно рассматривать на основе законов Ньютона.

§ 1. СВЯЗЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ С ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ МОЛЕКУЛЫ

Установим связь показателя преломления n с дипольным моментом молекулы р. Из теории Максвелла следует (см. (8.2)), что

n = ε .

Диэлектрическая проницаемость вещества ε показывает, во сколько раз Ε0 – напряженность электрического поля в вакууме – больше, чем Е – напряженность поля в среде:

ε = E0 .

E

Как известно (см. (4.2), ч. 2), поле в среде уменьшается за счет возникновения встречного поля Е′, вызванного поляризацией среды. Величина Е′ связана с поляризованностью диэлектрика Р (вектором поляризации) следующим соотношением:

E'= P .

ε0

Таким образом, поле в вакууме Е0 больше, чем в среде на величину Е′, т. е.:

	E0 = E + E'= E	+	P	(см. (4.2), (4.7), ч. 2).
			ε0

По определению, поляризованность Р – это сумма дипольных моментов единицы объема среды. Если обозначить через N0 число молекул среды в

единице объема, через p – наведенный полем световой волны электрический

дипольный момент молекулы, то

P = N 0 p .

Тогда для ε получим:

			E +	P
E0				ε0				N0 p	.
ε = E	=		E			= 1	+	ε0 E
Так как ε = n2						(см. (8.2)), то
n 2 = 1	+	N0 p			.
			ε0 E

§ 2. СВЯЗЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЬНОГО МОМЕНТА МОЛЕКУЛЫ С НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ПОЛЯ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

Как видно из только что полученной связи n2 с дипольным моментом p, зависимость показателя преломления n от частоты волны ω определяется отношением pE .

Здесь надо сделать две оговорки. Во-первых, поле, действующее на отдельную молекулу (локальное поле), вообще говоря, не совпадает с величиной среднего (макроскопического) поля в среде E. Мы не будем учитывать в элементарной теории дисперсии это различие, таким образом, количественные выводы такой теории могут быть применены только к разреженным газам.

Во-вторых, дипольный момент молекулы p, наведенный полем световой волны E, является функцией от времени, т. е. p = p(t) . Так как E = E(t) и фаза

колебаний p(t) не совпадает, в общем случае, с фазой колебаний E(t), то для нахождения показателя преломления надо усреднить по времени отношение

p(t)E(t) .

Тогда формула для n2 приобретет следующий вид:

n2 = 1	+ N0 <	p(t)	> .	(17.1)
	ε0 E(t)

Простейшая модель атома в поле световой волны заключается в следующем.

Под действием световой волны совершают колебания только внешние электроны атома, их называют оптическими электронами. Будем считать, что у молекулы (атома) один оптический электрон. Моделью такого атома будет упругий диполь, дипольный момент которого (см. (7.10)):

p = er .

Оптический электрон будет двигаться под действием квазиупругой силы, силы «трения» и внешней силы, действующей со стороны электрического поля

– коэффициент затухания; величина fm равна:

световой волны. Если световая волна поляризованная, то все эти силы будут действовать вдоль одной прямой. Направим вдоль этой прямой ось x, начало координат совместим с положительным зарядом, который будем, в первом приближении, считать неподвижным. Таким образом, мы приходим к модели пружинного маятника, который совершает колебания под действием внешней гармонической силы.

§ 3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ И ЕГО РЕШЕНИЕ

Уравнение движения, описывающее вынужденные колебания маятника с затуханием, было получено нами из второго закона Ньютона (см. (4.2)):

∙∙ ∙

x + 2β x + ω2 x = f m cos ωt.

0

Здесь x – координата электрона; ω0 – собственная частота незатухающих колебаний электрона; β

f m = Fm = eE m , m e m e

где Em – амплитуда световой волны;

ω – циклическая частота световой волны; me – масса электрона;

e – элементарный заряд (e = 1,6 × 10-19 Кл).

Стационарное решение этого уравнения движения (см. (4.4),(4.7), (4.9)):

	x(t) = A × cos (ω t - j) ,									(17.2)
	где			e × E m
	A =					/m e		> 0	,	(17.3)
			(ω02 - ω2 ) 2 + 4β2 ω2
	tg ϕ =			2βω	.
				ω2 − ω2
			0

§ 4. ЗАВИСИМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ОТ ЧАСТОТЫ

Найдем проекции дипольного момента и напряженности поля волны на ось

x.

На рис. 17.1 изображены диполь, силы, действующие на его полюсы, ось x и вектор электрического поля волны в момент времени t = 0:

				r
F+ = eE						F− = −eE

0

x

E(0)

Рис. 17.1

Как видно из рис. 17.1, проекция дипольного момента на ось x:

px (t) = -e × x(t) .

(17.4)

Проекция напряженности электрического поля световой волны на ось x:

Ex (t) = −Em cos ωt ,

(17.5)

знак «минус» в (17.5) означает, что в начальный момент времени вектор E направлен против оси x. Напомним, что в нашем уравнении движения сила, действующая на электрон, при t = 0 имеет положительный знак.

Найдем выражение для n2

для n2,

Подставим

в

формулу, полученную в (17.1)

выражения

px (t),

Ex (t) с использованием для x(t) решения уравнения движения (17.2) с

учетом (17.3):

n 2 =

1 +

N

0

<

- e × x(t)

> =

e0

- E m × cos wt

= 1 +

N 0

<

eA × cos( wt - j)

> = 1 +

N 0 eA

× cos j.

e0

E m cos wt

e0 E m

При

усреднении по

времени

cos (ωt − ϕ)

дает

cos ϕ .

Подставляя

cos ωt

выражение для амплитуды A – колебаний электрона, получим:

n

2

= 1 +

N0e2

× cos j;

(17.6)

e0me

(w02 - w2 )2 + 4b2w2

tg j =

2βω

.

w2

- w2

0

Анализ зависимости n(ω)

Как показывает опыт,

затухание

оказывает

незначительное

влияние на

движение оптического электрона, если частота ω световой волны не равна ω0 –

собственной частоте колебаний электрона. Точнее, затуханием можно пренебречь, если

ω02 − ω2 >> 2βω .

При выполнении этого условия

j » 0, если w < w0 ,p, если w > w0 .

В первом случае (если ω < ω0 ) колебания электрона происходят в фазе с вынуждающей силой, cos ϕ = 1. Во втором ( ω > ω0 ) – в противофазе, cosϕ = –

1.

Учитывая это, можно записать упрощенное выражение для n2, применимое для частот, далеких от ω0 :

2

N

0

e2

.

(17.7)

n = 1 + ε0me (ω02 − ω2 )

при ω < ω0

ω > ω0

Здесь знак

второго

слагаемого

положителен,

при

второе слагаемое отрицательное.

Для ω = ω0 , ϕ = π 2 , а cos ϕ = 0 , тогда,

возвращаясь

к исходному

выражению для n2 (17.6), получим: n = 1.

Проведенный анализ позволяет изобразить примерный график зависимости

показателя преломления от циклической частоты (рис. 17.2).

На участках AB и DE

n (ω)

B

показатель преломления n

растет с ростомω –

A

C

дисперсия

нормальная

(dn/dω> 0).

На

участке

1

BCD

дисперсия

E

аномальная –

с ростом ω

D

показатель

преломления

ω0

ω

падает (dn/dω< 0).

График

зависимости

Рис. 17.2

n(λ) приведен

на рис.

17.3.

Так как длина волны λ и циклическая частота величины связаны обратно пропорциональной зависимостью (5.2), график n(λ) , соответствующий приведенному на рис. 17.2, будет иметь примерно следующий вид (рис. 17.3).

		На участках ВА и			n(λ)	B
	ЕDdn/dλ<		0	–
	нормальная		дисперсия.			A
	На участке DСВ dn/dλ>				C
	0	–	аномальная
	дисперсия.				E
					D
					λ0	λ
					Рис. 17.3

Учет колебаний с другими собственными частотами

В веществе могут быть заряды, колеблющиеся с различными собственными частотами ω0i и затуханиями βi , величины зарядов qi могут

быть разными, разными могут быть и их массы. С учетом этого формула (17.6) для n2 примет следующий вид: