ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 2

1.При сложении колебаний одинаковой частоты и направления применяют метод векторных диаграмм. Результирующее колебание будет совершаться с той же частотой, что и складываемые колебания, а амплитуда результирующего колебания (2.2) будет зависеть от разности фаз складываемых колебаний.

2.При сложении колебаний одинакового направления и близких частот возникает особый тип колебаний – биения (2.4). Биения – это почти

гармонические колебания с амплитудой медленно меняющейся с частотой Δω.

3.При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты траектория результирующего колебания (2.6) зависит от разности фаз и соотношения амплитуд складываемых колебаний. Это может быть прямая, эллипс, окружность.

4.При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с разными частотами результирующее колебание представляет собой сложную кривую, которая будет замкнута, если периоды относятся как целые числа.

ЛЕКЦИЯ № 3

Затухающие колебания

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Период затухающих колебаний.

Логарифмический декремент. Добротность

В реальных условиях движению тела, совершающего свободные колебания, всегда препятствуют силы сопротивления (трения). Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Колебания, при которых амплитуда с течением времени уменьшается, называются затухающими.

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Рассмотрим колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика (рис. 3.1). На тело действует сила упругости (см. формулу (1.11)):

Fупр = −k упрx.

Сила	трения	препятствует			v
движению.
			k	Fупр
Будем считать, что мы имеем дело с
силой вязкого трения (см. ч. 1, (4.10)), она					m
пропорциональна скорости:						Fтр

Fтр = −rv,

(3.1)

где r – коэффициент трения или коэффициент сопротивления.

Знак «минус» показывает, что сила трения направлена против движения.

По второму закону Ньютона (1.7):

ma = −k упрx − rv;

0	x(t)	x

Рис. 3.1

		dx	∙		d2x	∙∙
	v =		= x ; a = ax	=		= x .
		dt			dt2

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника имеет вид:

	∙∙		+		r	∙	+	k упр	x = 0.
	x					x
					m			m
	Введем обозначения:
		r		≡ 2β;					(3.2)
		m

k упр = ω02 (см. формулу (1.13)), m

где β – коэффициент затухания;

ω0 – частота собственных незатухающих колебаний. Тогда:

∙∙	∙	+ ω2x = 0.
x	+ 2βx		(3.3)
		0

Рассмотрим еще одну систему, в которой совершаются затухающие колебания. Это колебания заряда q в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С, катушки с индуктивностью L и резистора с активным сопротивлением R (рис. 3.2). Для колебательного контура из закона Ома для неоднородного участка цепи (см. ч. 2, (7.11))

IR = ϕ1 −ϕ2 +ε

следует дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда q на обкладках конденсатора:

∙∙		R	∙	1
q	+		q +		q = 0.	(3.3а)
		L
				LC

I > 0

ϕ2	+ q(t)	L
C ϕ1	-
	R
	Рис. 3.2

∙

Здесь мы учли, что I = q (см. ч. 2, (6.1)), ϕ1 − ϕ2 = −q / C (см. ч. 2, (5.4)),

знак «минус» в правой части последней формулы связан с выбранным нами

положительным направлением	тока (см. рис. 3.2). ЭДС ε равна ЭДС
∙	∙∙

самоиндукции: εсам = −L I = −L q (см. ч. 2, (12.5)).

Если, как и в лекции № 1, ввести обобщенную координату ξ(t), понимая под ней смещение любой физической величины от положения равновесия, то уравнения (3.3) и (3.3а) перейдут в дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания любой природы:

∙∙	∙
ξ	(t) + 2βξ+ ω02ξ(t) = 0.						(3.4)
Для пружинного маятника:
ξ(t) = x(t),
а для колебательного контура:
ξ(t) = q(t),			R	= 2β, ω02 =	1	.	(3.4а)
			L		LC
Решение уравнения (3.4) будем искать в виде:
ξ(t ) = A 0 ×		e−βt × cos( ωt + α) .					(3.5)
Амплитуда затухающих колебаний:
A(t) = A0 × e−βt ,							(3.6)

где e = 2,71828...

Из (3.6) следует, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону.

Прямой подстановкой нетрудно убедиться, что функция (3.5) будет

решениемдифференциального уравнения (3.4) при условии, что частота

затухающих колебаний:
ω = ω02 − β2 .	(3.7)

График затухающих колебаний представлен на рис. 3.3 β<ω0.

Рис. 3.3

§ 2. ПЕРИОД ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента затухания β. При β << ω0 период колебаний практически равен (см. (1.2)):

T = 2π ,

0 ω0

т. е. периоду собственных незатухающих колебаний. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. Это происходит потому, что силы сопротивления (трения) тормозят движение, в результате система возвращается к положению равновесия медленнее

T =	2π	=		2π		.	(3.8)
	ω
				ω02 −β2