n 2 = 1 + ∑	N	2	cos ϕi	.	(17.8)
		0iqi
N

i =1ε0 mi (ω02i − ω2 )2 + 4βi2ω2

График зависимости n(ω) при наличии двух собственных частот (N = 2) будет иметь следующий вид (рис. 17.4).

n(ω)

1

ω01	ω
	ω02

Рис. 17.4

Опыт подтверждает такой ход зависимости n(ω).

§ 5. ГРУППОВАЯ И ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ

На графике зависимости n(λ), изображенном на рис. 17.3, есть участок CDE, где n< 1. Это означает, что фазовая скорость световой волны на этом участке

v = c > c . n

На первый взгляд, это утверждение противоречит теории относительности, согласно которой скорость света в вакууме с является максимально возможной скоростью передачи сигнала. Но монохроматическая волна не может передавать сигнал: она никогда не кончается и нигде не начинается. Такая волна состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых горбов и впадин, ничем не отличающихся друг от друга. Передавать сигнал можно только ограниченным в пространстве и во времени кусочком электромагнитной волны – электромагнитным импульсом. Такой импульс (группу волн) можно представить в виде наложения бесконечного числа монохроматических волн с разными частотами и амплитудами (интеграл Фурье).

Мы, для простоты, будем представлять импульс (группу волн) совокупностью двух близких по частоте монохроматических волн (см. (5.5)):

x1 (x, t) = a × cos(wt - kx )

+

x2 (x, t) = a × cos[(w + Dw)t - (k + Dk )x]

x(x, t) = 2a × cos( Dw t - Dk x) × cos(wt - kx ). 2 2

Здесь мы во втором сомножителе пренебрегаем величинами ω и k по сравнению с ω и k .

Выражение, стоящее в квадратных скобках, медленно меняется в пространстве и во времени, так как ω << ω, k << k (сравните с (2.4)). Обозначим его модуль буквой A,

A =		Dw	t -	Dk			.	(17.8а)
		2a × cos		2	x
		2
Тогда можно			считать, что					наш импульс (группа волн) – это

монохроматическая волна с медленно меняющейся амплитудой. Ее уравнение:

ξ(x, t) = A × cos (ωt - kx ).

Будем следить за распространением в пространстве точки xm, где амплитуда A (и энергия) максимальна. Назовем групповой скоростьюuскорость перемещения в пространстве максимума энергии в исследуемой группе волн:

u º dxm . dt

Максимуму A соответствует обращение в ноль фазы косинуса в выражении для A (в формуле (17.8а)). Тогда:

ω t -	k xm = 0 .
2	2

Возьмем производную по времени от этого выражения, в результате получим:

ω -		k ×		dx m		= 0,
2		2			dt
откуда					ω
u =	dxm		=
					Dk .
		dt

Переходя к пределу, получим окончательное выражение для групповой скорости:

	u =	dω		.	(17.9)
		dk

Заметим, что фазовая скорость (см. (5.12)) равна:

v = ω . k

Связь групповой скорости u с фазовой скоростью v

Заменим в полученном только что выражении для групповой скорости круговую частоту w через v×k (см. (5.3)), тогда

u = d(v × k) = v + k dv . dk dk

Выразим производную dv/dk через производную dv/dl:

dv = dv × dλ . dk dl dk

Так как

λ = 2p ,см. (5.3.), k

то

dλ = - 2π = - λ . dk k2 k

В результате получим для групповой скорости следующее выражение:

u = v − λ

dv

.

(17.10)

dλ

Учтем, что v =

c .

dv

c

dn

Тогда dλ = - n2

× dλ

.

n

Еслиdv/dl> 0, то u<v, это область, где показатель преломления n убывает с

ростом l, т. е. dn/dl< 0 –

нормальная дисперсия.

Если dv/dl< 0, то u>v и dn/dl> 0

–

аномальная дисперсия.

Но в области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл из-за большого поглощения света.

Таким образом, при распространении в реальной среде импульса, представляющего собой совокупность монохроматических волн, вводится понятие групповой скорости. Оно успешно применяется для объяснения дисперсии света. Другое весьма важное применение понятия групповой скорости связано с волновой механикой, в которой частицам сопоставляются волновые пакеты. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в части 5.

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 17

1. Дисперсия света обусловлена взаимодействием света с веществом. Для описания дисперсии требуется найти теоретическую зависимость показателя преломления от частоты падающего света ( n = n(ω) или n = n(λ) ).

2.Классическая теория дисперсии исходит из представлений света как электромагнитной волны и вещества как совокупности атомов, электроны которых под действием электромагнитной волны совершают вынужденные колебания.

3.Уравнение вынужденных колебаний электрона в атоме получается из второго закона Ньютона. Из его решения следует, что смещение электрона в атоме подчиняется гармоническому закону (17.2), а амплитуда вынужденных

колебаний электрона в атоме зависит от частоты вынуждающей силы, которая равна частоте падающего света (17.3).

4.При смещении электрона в атоме от положения равновесия каждый атом и каждая молекула приобретают электрический дипольный момент, который пропорционален смещению (17.4). Электрический момент диполя, как

исмещение электрона, зависит от частоты падающего света.

5.Сумма электрических дипольных моментов в единице объема равна вектору поляризации (поляризуемости), который пропорционален диэлектрической проницаемости среды.

6.Диэлектрическая проницаемость среды связана с показателем

преломления соотношением n = ε . Поэтому n 2 = ε и зависит от частоты падающего света сложным образом (17.6).

7.Опыт подтверждает ход теоретической зависимости n(ω).

8.Скорость передачи информации определяется не фазовой, а групповой скоростью (17.9):

u= dω . dk

9. Групповая скорость u связана с фазовой скоростью v формулой (17.10):

u = v − λ dv , dλ

в области нормальной дисперсии, где dv > 0 групповая скорость u меньше dλ

фазовой скорости v.