ТЕСТ №6

Колебания

v0

х

Рис. Т.6.1а

Груз массой m = 4 кг может колебаться на пружине с жесткостьюk = 1 Н/м (рис. Т.6.1а).

Вначальный момент времени груз находится в положении равновесия (х(0)

=0), в этот момент ему сообщили скорость вдоль оси хv(0) = 0,05 м/с.

Считая коэффициент трения r = 0:

1.Определить циклическую частоту колебаний груза ω0.

2.Определить период колебаний Т0.

3.Определить полную энергиюW.

4.Определить амплитуду колебаний А.

5.Записать зависимость смещения груза от времени х(t).

6.Записать зависимость скорости груза от времени v(t).

7.Построить графики х(t), v(t). Введем трение.

8.До какого значения надо увеличить коэффициент трения r, чтобы колебания прекратились?

9.Добротность Q колебательной системы при значении коэффициента

трения r = 4×10–2 кг/c, пояснить физический смысл добротности.

+ +

С − −	L

R

Рис. Т.6.2а

Колебательный контур имеет индуктивность L = 10-2 Гн и емкость С = 10-6 Ф (рис. Т.6.2б). Величина активного сопротивления контура R может изменяться. В начальный момент времени конденсатор имел заряд q(0) = 10-4 Кл.

Считая активное сопротивлениеR = 0:

1.Определить циклическую частоту колебаний заряда ω0.

2.Определить период колебаний Т0.

3.Определить полную энергию, запасённую в контуре.

4.Определить максимальное значение силы тока.

5.Записать зависимость заряда конденсатора от времени q(t).

6.Записать зависимость тока в катушке индуктивности от времениi(t).

7.Построить графики q(t), i(t).

Введем сопротивление.

8.До какого значения надо увеличить активное сопротивление контура R, чтобы колебания прекратились?

9.Добротность контура Q при значении активного сопротивления R = 2 Ом, пояснить физический смысл добротности.

ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ТЕСТА №6

Колебания

v0

х

Рис. Т.6.1б

1. Циклическая частота незатухающих колебаний пружинного маятника

(рис. Т.6.1б)

ω =	k	=	1	=	1	, c−1.
0	m	4 2

2. Период незатухающих колебаний

Т = 2π = 4π, c.

0 ω0

3. Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий

W = WП + WК.

При отсутствии трения (r = 0) полная энергия сохраняется, так как в начальный момент времени по условию х(0) = 0, то полная энергия в этот момент равна кинетической:

		mv2	(0)		4 ×(5×10−2 )2 = 5×10-3 Дж.
W = W	=			=		=
к(0)		2			2

4. Амплитуду незатухающих колебаний А найдем, приравняв кинетическую энергию в начальный момент времени потенциальной энергии в момент максимального смещения груза:

Wк(0) = Wп.max ,

т. е. 5 ×10−3 = k × А2 , 2

	откуда
			2 ×5 ×10−3			10−2
	А =			=					= 0,1 м.
			k			1

5. Так как в начальный момент времени х(0)= 0 и начальная скорость направлена по оси х, то зависимость смещения от времени будет иметь следующий вид:

х(t) = A sin ω0 t = 0,1sin t , м. 2

6. Скорость, по определению, это производная координаты х по времени:
v(t) = dx(t) = Aw0 cos w0 t == 0, 05cos t ,								м/c.
			dt				2
7.	Графики построены на рисунке (рис. Т.6.3б).
						v, м/с х, м
						0,1м	х(t)
					0,05м/с		v(t)
								t, c
								4π
							Рис. Т.6.3б
8.	Частота затухающих колебаний
w =		w 2		- b2 ,
			0
где		b =	r
			2 × m .
Условие прекращения колебаний:
βкр = ω0 ,
откуда:
rкр= 2mw0				= 2 × 4 × 1 = 4 кг/c.
					2
9.	При выполнении условия β ω добротность системы определяется
формулой
Q = ω0 .
		2β
У нас w0 = 11/ c,					r = 4 ×10−2		кг/с,
				2
тогда
b = r = 4 ×10−2					= 5 ×10−3 , с-1 ,
		2m		2 × 4
следовательно
Q = ω0			=	1		= 50 .
		2b	2	× 2 ×5 ×10−3

Добротность показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе больше смещения при ω = 0.

imax

+ +

С − −	L

R

Рис. Т.6.2б

1. Циклическая частота незатухающих колебаний колебательного контура

w =

1

=

1

=104 , с-1.

0

L ×C

10−2 ×10−6

2.

Т0 =

2π

=

2π

= 2p×10

−4

, с.

w

104

0

3. Полная энергия равна сумме энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки

W = WС + WL .

При отсутствии активного сопротивления (R = 0) полная энергия сохраняется. Так как в начальный момент времени по условию сила тока равна нулю, то полная энергия в этот момент равна энергии заряженного конденсатора

W = W =	q2	=	10−8	= 5 ×10−3 Дж.
			2 ×10−6
C	2C

4. Максимальное значение силы тока imax найдем, приравняв энергию конденсатора в начальный момент времени максимальнойРис. 6энергии.4б катушки индуктивности:

WC(0) = WL. max ,

5 ×10

−3

=

L × imax

2

т.е.

,

2

откуда

2 ×5 ×10−3

10−2

imax

=

=

= 1 А.

L

10−2

5. Так как в начальный момент времени заряд конденсатора максимальный, то зависимость заряда от времени будет иметь следующий вид:

q(t) = qmax ×cos w0 t =10−4 ×cos104 t, Кл.

6. Сила тока, по определению, это производная заряда по времени:

i(t) = dq = −qmaxω0 sinω0t = −sin104 t, А. dt

При этом положительным считается ток, заряжающий конденсатор

7. Графики построены на рисунке (рис. Т.6.4б).

i(t), A	q(t), Кл
1 А
10-4 Кл	q(t)
	t, 10−4 c
	2π
	i(t)
-1 А
	Рис. Т.6.4б

8. Частота затухающих колебаний w = w02 - b2 ,

где b = R . 2 × L

Условие прекращения колебаний:

βкр = ω0 ,

откуда:

Rкр = 2Lw0 = 2 ×10−2 ×104 = 2 ×102 Ом.

9. При выполнении условия β ω добротность системы определяется

формулой

Q = ω0 . 2b

У нас ω0 = 104 1/c, R = 2 Ом,

тогда

b =	R		=			2		=102		,c−1	,
						×10−2
	2L			2
следовательно
Q =		w		=		104			= 50 .
		0
		2b				2 ×	102

Добротность показывает, во сколько раз амплитуда колебаний заряда при резонансе больше заряда конденсатора при ω = 0.