tgϕ =

2βω

;

(4.7)

ω02 − ω2

ϕ = arctg

2βω

.

(4.8)

ω2 − ω2

0

По теореме Пифагора:

f 02 = (ω2 −ω2 )2 A 2

+ 4β2 A 2

ω2 .

0

Амплитуда вынужденных колебаний равна:

A(ω ) =

f 0

.

(4.9)

(ω02 −ω2)2 + 4β2 ω2

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей

силы.

§ 3. РЕЗОНАНС

Проанализируем, как амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота ωрез – резонансной. Для определения ωрез исследуем функцию A(ω) (формула (4.9)) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω). Возьмем от него производную по ω и приравняем к нулю:

- 2(w20 - w2) × 2w + 8 b2 w = 0,

откуда резонансная частота:

ωрез = ω02 − 2β2			.	(4.10)

При 2β2 > ω20 резонанс отсутствует ( ωрез – мнимое число).

Амплитуда при резонансе

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ωрез (4.10) в формулу для A(ω) (4.9):

Aрез =		f 0		.	(4.11)
	2β
		ω02	− β2

Из (4.11) следует, что при уменьшении коэффициента затухания β резонансная амплитуда возрастет. Если β→0, то Арез→∞. При этом резонансная

частота (4.10) стремится к частоте незатухающих собственных колебаний ω0.

При β<<ω0:

	Aрез ≈	f 0	.	(4.12)
		2β ω0

Резонансные кривы е

Графики зависимости A(ω) при различных β носят название резонансных кривых. Они представлены на рис. 4.4.

А(ω)/A(0)

Рис. 4.4

На рис 4.4β1<β2<β3. В случае, если 2β32 > ω02 – резонанса нет.

Резонанс необходимо учитывать в технике. Жилые дома, промышленные корпуса, железные дорог и, мосты, туннели и т. д. являютс я колебательными системами, в которых при определенных условиях могут возникать вынужденные колебания . Иногда амплитуда вынужденных колебаний становится столь большой , что это может вызвать разрушения. В ряде случаев резонанс может давать пол ожительный эффект, например, при погружении свай и труб на строительстве м орских и озерных сооружений.

Исключительно важ ную роль играет резонанс в радиотехникеи электронике, где резонан сные свойства колебательного контура и других резонансных электрических систем используются для вы деления сигналов нужной частоты. Например, настройка на нужную ст анцию радио- и телевизионных приемников производится путем изменения со бственных частот колебательных контуров в этих устройствах.

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 4

1. Вынужденные колебания возникают в том сл учае, когда на колеблющуюся систему действует внешняя периодически изменяющаяся сила.

2. Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания, имеет вид (4.2):

	∙∙		∙
	ξ	(t) + 2bξ(t) + ω02 x(t) = f 0			× cos wt .
	3. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от
амплитуды вынуждающей силы f0 и ее частоты ω (4.9):
		A(ω) =		f 0				.
				(ω02 −ω2)2 + 4β2 ω2

4. Резонансом называют резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, происходящее при приближении частоты вынужденных колебаний к резонансной частоте колебаний системы. Амплитуда при резонансе дается формулой (4.11):

	Aрез =		f 0		.
		2β	ω02 − β2

5. Резонансная частота ωрез зависит от частоты собственных колебаний ω0 и коэффициента затухания β (4.10):

ωрез = ω20 − 2β2 .

При 2β2> ω20 резонанса нет.

ВОЛНЫ

ЛЕКЦИЯ № 5

Волны в упругой среде

Упругие волны. Основные определения для волнового процесса. Уравнение плоской волны. Фазовая скорость.

Уравнение сферической волны. Волновое уравнение

§ 1. УПРУГАЯ ВОЛНА

Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды. Существует объемная упругость и упругость формы. Например, давление газов на стенки сосуда обеспечивает способность газов сопротивляться изменению их объема. В то же время, газы беспрепятственно изменяют свою форму. Следовательно, газы обладают объемной упругостью, но не обладают упругостью формы. Такими же свойствами обладают жидкости. Твердые тела обладают как объемной упругостью, так и упругостью формы.

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться в среде от частицы к частице, создавая упругие волны. Колебания твердых тел при взрывах и землетрясениях, звуковые волны – все это примеры упругих волн.

Частицы среды при волновом процессе не переносятся волной, а лишь колеблются около своих положений равновесия. Причем, вследствие инерции колебания частиц сдвинуты по фазе. Распространение колебаний в среде связано с передачей энергии от одной колеблющейся частицы к другой. Таким образом, волны переносят энергию от одной колеблющейся частицы к другой.

Итак, упругая волна – это процесс распространения механических колебаний вупругой среде. Характерное свойство волны – перенос энергии без переноса вещества.

Для описания волны надо ввести функцию, в общем случае – векторную, задающую смещение от положения равновесия каждой частицы упругой среды

для любого момента времени. Обозначим эту функцию греческой буквой ξ

(кси). Аргументами ее, в соответствии с вышесказанным, будут три пространственные переменные – x, y, z, задающие положение частицы (или радиус-вектор r ) и время t, т. е.

ξ = ξ(x, y, z, t) = ξ(r, t) .

Скорость движения частиц упругой среды – это частная производная от смещения по времени, т. е.

		=	∂ξ(r, t) .
	vr
			∂t