Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

29
e = λ1е1 + λ2е2 +…+ λsеs ,	(1.3.2)

где λ1, λ2, …, λs – любые числа

Определение 8. Строки матрицы е1 , е2 , …, еm называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ1, λ2, …, λm , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация (1.3.2) строк матрицы равна нулевой строке 0 = (0 0 … 0):

λ1е1 + λ2е2 +…+ λmеm=0.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Если строки матрицы линейно зависимы, то хотя бы одна из строк матрицы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство

Пусть, для определенности, в формуле λ1е1 + λ2е2 +…+ λmеm=0 λm 0.

Тогда

		λmеm = – λ1е1 – λ2е2 –… λm– 1еm– 1 и
еm=		1	е1	+	2		е2	+ … +	m 1 еm– 1, или
		m			m				m
еm = '	е1 + ' е2 +…+ '					еm– 1,		где ' =		i	(i = 1,…,m– 1).
1		2		m 1				i		m

Таким образом еm является линейной комбинацией остальных строк. Что и требовалось доказать.

Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты i равны нулю, т.е. λ1= λ2=…= λm=0, то строки е1,

е2,…, еm называют линейно независимыми.

Теорема 5 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Доказательство

Проведем доказательство в два этапа.

1. Пусть матрица Аm n имеет ранг r (r min (m, n)). Это означает, что существует отличный от нуля минор r-го порядка.

Всякий ненулевой минор r-го порядка будем называть базисным ми-

нором.

Пусть для определенности это минор

	а11	а12	...	а1r
=	а21	а22	...	а2r	0.
	... ... ... ...
	аr1	ar 2	...	аrr

Тогда строки матрицы е1, е2,…, еr линейно независимы. Докажем это, проводя доказательство от противного.

30

Пусть одна из е1, е2,…, еr , например, еr является линейной комбинацией

остальных, т.е. еr = λ1е1 + λ2е2 +… λr– 1еr– 1.

Сведем минор , используя свойства определителя к треугольному виду, осуществляя действия со строками, при этом определитель не изменится, но так как теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то =0 – противоречие, и наше предположение о том, что строки е1, е2,…, еr линейно зависимы, неверно.

Строки е1, е2,…, еr называются базисными.

2. Покажем, что любые (r+1) – строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Рассмотрим минор (r+1) – го порядка, который получится при дополнении минора еще одной строкой i и столбца j:

	а11	а12	...	а1r	а1 j
	а21	а22	...	а2 j	а2 j
΄ =	... ... ... ...				...		.
	аr1	аr 2	...	аrr	аrj
	аi1	аi2	...	аir	аij

Этот минор равен нулю, т.к. ранг матрицы равен r, поэтому минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая ΄ по элементам добавленного столбца, получаем

а1j A1j + a2j A2j +…+ aij Aij = 0,

где последнее алгебраическое дополнение Aij = 0.

Разделив равенство a1j A1j + a2j A2j + arj Arj + aij Aij = 0 на Aij можем выразить элемент aij как линейную комбинацию:

r

aij = s asj .

S 1

Фиксируем значение i (i > r) и получаем, что для любого j-го столбца (j=1,…., n ) элементы i-й строки еi линейно выражаются через элементы строк е1, е2,…, еr, т.е. i-я строка есть линейная комбинация базисных:

r

еi = s asj .

S 1

Что и требовалось доказать.

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

Примеры

31
1	1	1
1. Показать, что строки матрицы А = 1	2	3	линейно независимые.
1	3	3

Решение.

Строки матрицы е1 = (1 1 1), е2 = (1 2 3), е3 = (1 3 3) линейно независимые, если определитель, составленный из них отличен от нуля (смотри доказательство теоремы 5 (о ранге матрицы)).

1 1 1 1 1 = 1 2 31 2= 6 + 3 + 3 – 2 – 9 – 3 = –2 0,

1 3 31 3

Значит строки матрицы А линейно независимы.

	1	2	1
2. Дана матрица А = 2		0	3	подобрать так, чтобы строки матрицы бы-
		1	2

ли линейно зависимыми.

Решение

Строки матрицы е1 = (1 2 – 1), е2 = (2 0 3), е3 = ( 1 2) линейно зависимые, если определитель, составленный из них равен нулю.

1 2 1 1 2 = 2 0 3 2 0 = 0 + 6 – 2 – 0 – 3 – 8 = 6 – 13

1 2 1

=0, тогда 6 –13 = 0, =136 .

3.Будет ли линейно зависимы строки матрицы

А =	1	2	3	.
	3	6	7

Решение

По теореме 5 (о ранге матрицы) имеем, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.

Найдем ранг матрицы А,

			А = 1			2	3		,
					3	6	7
М2 =		1	3		= – 2 0 r(А) = 2.
		3	2

32

Значит максимальное число линейно независимых строк матрицы А равен двум, поэтому строки матрицы не являются зависимыми, они линейно независимы.

33

ЛЕКЦИЯ 1.4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ. ПРАВИЛО КРАМЕРА. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД. МЕТОД ГАУССА. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПОНЯТИЕ ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.4.1. Основные понятия и теоремы

Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными общего вида:

а

х а

х

... а

х

b ,

11 1

12

2

1n

n

1

а21х1 а22 х2

... а2n хn b2 ,

(1.4.1)

..............................................,

а

х а

х

...

а

х b

m1 1

m2 2

mn n

m.

Определение 1. Матрица, составленная из коэффициентов при неиз-

вестных, называется основной матрицей системы (1.4.1):

а11

а12

...

а1n

а

а

...

а

А =

21

22

2n .

... ...

... ...

аm1

аm2

...

аmn

Если к основной матрице добавить столбец свободных членов, то по-

лучится расширенная матрица системы:

а11

а12 ...

а1n

b1

а

а

...

а

b

22

А =

21

2n

2

... ... ...

... ...

...

а

...

а

b

а

m1

m2

mn

т

Систему (1.4.1) можно записать в матричном виде следующим образом:

а11			а12	...	а1n		А . Х=В,
	а		а	...	а		– основная матрица системы (1.4.1),
где А =		21	22		2n
			...	...	...
...
	аm1		аm2	...	аmn

34

		х1				b1
		х				b
Х =			2		– матрица – столбец неизвестных, В =			2		– матрица – столбец
		M					M
		х	n			b
								m

свободных членов.

Определение 2. Решением системы линейных алгебраических уравнений (1.4.1) называют значения неизвестных х1, х2, …, хn, при которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение 3. Система линейных алгебраических уравнений называ-

ется однородной, если b1=b2=…= bm= 0:
	а	х	а	х	... а	х	n	0,
	11 1		12	2	1n
	а21х1 а22х2				... а2n хn 0,				(1.4.2)
..............................................,
а		х	а	х	... а		х	0
	m1 1		m2 2		mn			n

Определение 4. Решение однородной системы (1.4.2) называется три-

виальным, если

х1= х2 = …= хn = 0,

и нетривиальным, если хотя бы одно из значений х1, х2, …, хn отлично от нуля.

Определение 5. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместность системы линейных алгебраических уравнений и количество решений системы можно определить с помощью теоремы Кронекера – Капелли.

Теорема 1 (Кронекера – Капелли). Для того чтобы система (1.4.1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть

rang(A) = rang( А) = r,

причем, если r = n – числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если r < n, то система имеет множество решений.

Для наглядности суть теоремы удобно свести в табл. 1.4.1. Пример. Выяснить, совместна ли система уравнений

4х1 3х2 3х3 х4 4,3х1 х2 3х3 2х4 1,3х1 х2 х4 0,

5х1 4х2 2х3 х4 3.

35

							Таблица 1.4.1
						Система неоднородная	Система однородная
	Ранг					АХ=В, где	АХ = 0, где
						m – уравнений,	m – уравнений,
						n – неизвестных	n – неизвестных
							Это невозможно при b1=b2=…=
1.	rang(A) rang(	А		)		Система несовместна	bn= 0, то есть однородная система
							всегда совместна
	rang(A) = rang(				)	Система совместна	Совместна
			А
	а) r = n						Решение только
2.						Решение единственное	тривиальное
							(х1= х2= …= хn= 0)
	б) r < n					Решений множество	Имеются нетривиальные решения
							(решений множество)

Решение.

Выпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранг основной и расширенной матриц.

Имеем

				4		3	3	1		4
					3	1	3	2		1
	А=											.
					3	1	0	1		0
						4	2	1		3
				5

Не будем представлять столбец свободных членов с другими столбцами матрицы, чтобы сразу определить ранги основной и расширенной матриц.

Второй столбец матрицы А умножим на 3 и вычтем из первого, а также сложим второй столбец с четвертым. В результате в третьей строке получим все нули, кроме единицы во втором столбце.

Получаем

				5		0	3	2		4
					6	0	3	3		1
	А~											.
					0	1	0	0		0
							2	5		3
				7 0

Теперь вторую строку прибавим к первой и четвертой, а затем в полученной матрице первый столбец сложим с четвертым. Имеем

				1		0	0	0		5
					6	0	3	3		1
	А~											.
					0	1	0	0		0
						0	1	1		4
				1

36

Далее третий столбец последней матрицы вычтем из четвертого, равного ему, и прибавим к первому. Полученный первый столбец, умноженный на 5, вычтем из пятого. Тогда

1		0	0	0		0		1 0			0	0		0		1 0			0	0		0
	9	0	3	0		44			0	0	0	0		1			0	1	0	0		0
А%~	0	1	0	0		0		~	0	1	0	0		0		~	0	0	1	0		0	.
		0 1		0		4				0 1		0		0				0	0	0		1
0								0								0

Получим rang(A) = 3, rang( А) = 4, откуда rang(A) ≠ rang( А),то есть ис-

ходная система несовместна (не имеет решений).

1.4.2. Методы решения систем линейных алгебраических уравне-

ний

Рассмотрим следующие методы решения системы линейных алгебраических уравнений: правило Крамера, матричный метод, метод Гаусса.

Метод Крамера. Пусть задана система n – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными общего вида

	а х	а х		...	а х	b ,
	11 1	12	2		1n n	1
а21х1 а22 х2 ...					а2n хn	b2	,	(1.4.3)
							,
	..............................................
...	а х	а	х		а х	b
	n 1 1	n2	2		nn n	n.

Определение 6. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1.4.3) называется главным определителем системы, обозначается ∆:

	а11	а12	...	а1i	...	а1n
∆=	а21	а22	...	а2i	...	а2n		.
	.... .... .... .... .... ....
	аn1	аn2	...	аni	...	аnn

Справедлива следующая теорема, которую будем называть правилом Крамера для системы (1.4.3).

Теорема 2 (правило Крамера для квадратной системы n×n). Если главный определитель ∆ системы (1.4.3) отличен от нуля, то система имеет решение, и притом, единственное. Это решение можно найти по формулам

x1=	1	, x2=	2	, …, xi=	i , … , xn=	n ,	(1.4.4)

где каждый определитель ∆i получается из определителя ∆ путем замены соответствующего i– го столбца столбцом свободных членов:

37

	а11	а12	...	b1	...	а1n
∆=	а21	а22	...	b2	...	а2n		.
	.... .... .... .... .... ....
	аn1	аn2	...	bn	...	аnn

Отметим, что:

1. Если главный определитель ∆ системы (1.4.3) равен нулю, и хотя бы один из определителей (1.4.4) ∆1, ∆2,…, ∆i,…, ∆n отличен от нуля, то система решений не имеет (несовместна).

2. Если главный определитель системы (1.4.3) ∆ равен нулю, и все определители (1.4.4) ∆1=∆2=…=∆i=…=∆n= 0, то система совместна и имеет множество решений.

Пример.

Решить неоднородную систему с помощью правила Крамера:

2x1 x2 x3 3,3x1 4x2 5x3 8,

2х2 7х3 17.

Решение

Вычислим основной определитель системы:

∆=detA =		2	1	3
		3	4	5		= 56 – 18 + 20 + 21 = 79 ≠ 0,
		0	2	7

то есть система имеет единственное решение.

Последовательно заменив в ∆ первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, найдем решение системы по формулам (1.4.4)

			3			1			3				= 395, х1= 1					395
∆1 =			8			4			5												= 5;
			17			2	7												79
		2	3			3			= – 158, х2=					2					158		= – 2;
∆2 =		3			8	5
		0	17			7													79
					2	1	3				= 237, х3=				3			237
∆3 =					3	4	8													= 3.
					0	2	17												79

38

5
Сделав проверку, установим истинность единственного решения X 2 .
3

Матричный метод. Рассмотрим систему n – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными вида (1.4.3). Эту систему можно записать как матричное уравнение

а11		а12	...	а1n		А . Х=В, (1.4.5)
	а	а	...	а		– основная матрица системы (1.4.3),
Где А =	21	22	...	2n
... ...				...
	аn1	аn2	...	аnn

		х1				b1
		х				b
Х =			2		– матрица – столбец неизвестных, В =			2		– матрица – столбец
		M					M
		х	n			b		n

свободных членов.

Если главный определитель системы не равен нулю ∆ ≠ 0, то матрица А имеет обратную А– 1.

Решим матричное уравнение (1.4.5), умножив слева обе части уравнения не А– 1:

А– 1 . А . Х = А– 1 . В,
Е . Х = А– 1 . В,
Х = А– 1 . В– искомая матрица.	(1.4.6)

Таким образом, алгоритм решения системы n – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными матричным методом можно сфор-

мулировать так:

1.Вычислить главный определитель ∆ системы, убедиться, что он отличен от нуля.

2.Найти матрицу, обратную основной матрице системы.

3.Найти решение системы по формуле (1.4.6).

4.Сделать проверку.

Пример

Решить систему неоднородных алгебраических уравнений матричным методом:

	2х 4 у z 3,
x 5y 3z 1,
	x y z 1.

Решение