21. Особенности моделирования организационно-экономических систем. Производственные функции.

ОСОБЕННОСТИ:

• Иерархическая структура.

• Наличие коллектива людей.

• Многокритериальность.

• Большой объем разнообразной информации (числовая, текстовая, символьная).

• Неопределенность (по информации, по постановке задач, по критериям).

• Трудности в подборе исходной информации, т.к. большое число скрытых внутренних закономерностей.

• Высокий субъективный фактор.

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ АКТИВНЫХ СИСТЕМ

Присутствие человека приводит к определенной активности системы. Активным называется элемент, имеющий собственные цели (интересы), способный искажать информацию и работать с разной эффективностью, в соответствии со своими интересами. ГЛАВНАЯ ЗАДАЧА, решаемая в теории активных систем – построение эффективных организационных механизмов (законов стимулирования, процедур планирования и др.)

ЗАДАЧИ ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ. Описание модели:

Система состоит из планирующего органа – Центра и “n” предприятий -

производителей однородной продукции – элементов.

Исследуется функционирование системы в дискретные периоды (месяц, квартал, год)

Задача центра – назначить план каждому предприятию при условии, чтобы суммарный выпуск продукции был равен заданному количеству R (плановое задание для системы в целом), а суммарные затраты на производство продукции были минимальными.

xi - план «i»-го предприятия

zi - затраты «i»-го предприятия на выпуск продукции в количестве xi.

При заданном плане xi существует минимальная величина Зi(xi) затрат. Реальные затраты могут быть значительно выше этой величины (причины – плохая организация производства, отсутствие заинтересованности предприятия к снижению затрат). Так как затраты растут с ростом плана, то Зi(xi) – неубывающая функция xi. Для упрощения примем ri – коэффициент эффективности производства.

Задача центра - минимизировать затраты при выполнении планового задания

Задача предприятия Интересы предприятия определяются целым рядом факторов (материальных, престижных и др. ). fi = λxi – zi, fi - прибыль предприятия, λ – цена единицы продукции

а) Если бы центр знал коэффициент эффективности {ri} всех предприятий, то задача оптимального управления системой решается методом множителей Лагранжа.

Формируем функцию:

μ – множитель Лагранжа. Дифференцируя по xi, получаем xi = μri:

μ определяем из ∑ xi = R, т.е.

оптимальный план :

В этом случае центру достаточно назначить каждому “i” предприятию соответствующий план xi и обеспечить контроль за его выполнением. А предприятие заинтересовано реализовать план с минимальными затратами (fi = λxi – zi , т.к. λ и xi – фиксированы, тогда прибыль ↑).

Затраты на выпуск всей продукции будут при этом также минимальны

б) Проблемы возникают в том случае, если центр имеет ограниченную информацию о коэффициенте эффективности предприятий. Центру известны только границы возможных значений ri. Как центру принимать решение в этих условиях неопределенности?

Пусть λ = сonst. Для предприятия :

т.е. прибыль предприятия зависит от оценок, сообщенных другими предприятиями. Игра «n» лиц с функциями выигрыша ρi(s), si – стратегия i-го игрока, [d,D] –множество возможных стратегий, S = {si}. Решение игры – ситуация равновесия в смысле Нэша, т.е.

т.е. отдельному предприятию невыгодно менять стратегию, если остальные предприятия придерживаются прежних стратегий. План, выгодный предприятию:

max (2-я производн. стр.)

А со стороны центра xi = siR/s

Если xi(s*) < vi , то выгодная для предприятия оценка своих возможностей si*= D, т.к. xi(s) – возрастающая функция si . Если xi(s*)> vi , то si* = d. Если d<si*<D, то обязательно xi*=xi(s*)=vi . Нестрого, но видно, что при ∑vi>R и ∑vi<R решение при s*=D и s*=d - это x*=R/n.

Принцип открытого управления

Причина низкой эффективности ЖЦ –несовпадение интересов центра и предприятий: для предприятий xi = λri = vi для центра xi=siR/s, ∑xi=R. Если v=R, то цели центра и предприятий совпадают, но при v≠R предприятия, преследуя свои цели, пользуются предоставленной им свободой в выдаче информации. Функции λxi-xi2/2si – функция предпочтения предприятия. Для устранения коэффициентов определяют закон управления λ(s) и xi(s) λri=siR/s, λ(s)=R/s, xi(s)=siR/s.

Принцип согласованного управления

Согласованный оптимум означает преобразование конфликтной ситуации в такую, при которой ни один из участников конфликта не может улучшить свое состояние, не причинив вреда остальным партнерам (принцип Парето). Если игроки действуют по принципу «каждому-свое», тогда решением будет ситуация, определенная уравнением: - это т. несогласованного оптимума.

Т. согласованного оптимума определяется Df/Dx, где D/Dx – якобиан, а f = (f1,…fn).

Существует много методов согласования целей (один из них функция штрафа)

Например: Центр планирует не только кол-во выпущенной продукции, но и затраты на

производство.

Пусть wi – планируемые затраты i-го производства, которые определяются на основе оценок si , т.е. ( wi = xi2/2si ). При отклонении реальных затрат от планируемых, предприятие штрафуют.

Конкретные запасы СУ получаются при выборе конкретных функций предпочтения для всех предприятий и процедуры выбора решения. Причем ХУ и ОУ – могут входить как частные случаи. Если обозначить αi(λ,xi,si) – некоторая функция предпочтения i-го предприятия, а ψ(x,s) – ц.ф. центра ψ(x,s)→min, ∑xi = R, xi ≥0

αi(xi,λ,si)= max z αi(λ,z,xi)

Производственными функциями называют соотношения между используемыми в производстве материальными благами и трудовыми ресурсами к выпускаемой продукции.

Q = f(K,L)

Q – объем выпускаемой продукции (нац. доход)

K – затраты капитала (фиксированные фонды, введенные в производство)

L – объем трудовых затрат (производительно затраченное время)

Использование ПФ предполагает решение двух взаимосвязанных задач:

- спецификации ПФ, т.е. выделение существенных факторов и определение вида функции;

- параметризации ПФ, т.е. расчета численных значений параметров на основе систематизированных статистических данных при помощи регрессионного и корреляционного анализа.

ПФ могут быть построены в статическом (синхронном) аспекте на базе множества показателей для одного определенного момента (интервала) времени или в динамическом аспекте, на основе временных рядов.

Спецификация ПФ должна удовлетворять некоторым логическим, экономическим и математическим требованиям: - все входящие в ПФ величины должны быть измеримы; - выпуск продукции без затрат ресурсов невозможен; - все включенные в ПФ ресурсы необходимы: при отсутствии хотя бы одного из них выпуск равен 0; - в число аргументов ПФ должны быть включены все существенные для данного процесса производства факторы; - ресурсы предполагаются в той или иной степени взаимозаменяемыми; - если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно; - все величины должны иметь отчетливый экономический смысл; - ПФ должна опираться на соответствующую статистическую базу; - ПФ предполагается однозначной, непрерывной и дважды дифференцируемой.

Оценку параметров ПФ часто производят МНК. Но статистические данные не вполне удовлетворяют требованиям МНК (например, корреляционная зависимость между факторами, тогда как способ НК требует их независимости). Поэтому применяются некоторые специальные приемы для устранения автокорреляции переменных и ослабления мультиколлениарности аргументов ПФ. Центральное место в анализе ПФ занимает исследование их дифференциальных характеристик. Запишем в общем виде ПФ: y = f(x1,x2,…xn) = f( ). Основные дифференциальные характеристики: 1. предельная эффективность i-го ресурса (фактора) или производительность ресурса ∂f/∂xi зависит от т. x, в которой берется производная. Характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества производственного ресурса 2. средняя эффективность ресурса f(x)/xi 3. эластичность выпуска по отношению к изменению затрат i-го ресурса (фактора)

При анализе эффективности использования ресурсов важно знать на сколько процентов возрастает объем продукции при увеличении затрат ресурса на 1%. Эластичность выпуска по отношению к изменению затрат близка к этой величине. Можно вычислять величину эластичности по более удобной формуле: т.к. xi>0, f(x) > 0 4. Предельная норма замещения одного ресурса другим Показывает, сколько второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса, если выпуск продукции остается неизменным. Предельная норма замещения имеет отрицательную величину, т.к. при уменьшении использования одного из ресурсов для сохранения выпуска продукции использование другого ресурса надо увеличить.

Предполагается, что ПФ удовлетворяет двум аксиомам. Первая утверждает, что существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью, в которой увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска продукции. Таким образом, если х1 и х2 – две точки этой области, то х1≥х2 влечет за собой f(x1) ≥ f(x2). Эта область характеризуется неотрицательностью всех первых частных производных ПФ, которые называются предельными продуктами ∂f(x)/∂xi ≥ 0. Вторая аксиома Существует особая область, выпуклое подмножество экономической области для которой матрица Гессе ПФ отрицательно определена для всех х этой области. В этой особой области производственные множества являются выпуклыми для каждого неотрицательного «y». В ней также выполняется ∂2f(x)/ ∂xj2 < 0, j=1,2…n. Это закон убывающей доходности. По мере того, как затраты одного вида добавляются к установленным объемам других затрат, в конечном счете достигается особая область, в которой предельный продукт затрат снижается.

∂Q/∂K = QK> 0, QKK<0, ∂Q/∂L = QL> 0, QLL<0. QK, QL – предельные продукты капитала и труда Кривые описываемые условием f(K,L) = const – изокванты L Для малых приращений вдоль каждой изокванты можно утверждать K

Изокванты имеют отрицательный наклон, а численное значение углового коэффициента касательной характеризует предельную норму замещения. Предельная норма замещения представляет собой отношение, в котором использование одного из факторов может быть уменьшено, а другого увеличено без изменения объема выпускаемой продукции. Изокванты – выпуклые вниз кривые.

Сложная производственная функция сформулирована в 1930 г. Коббом и Дугласом. Они предположили, что нашли в ней наиболее адекватную форму выражения эффективности соотношения труда и основных фондов в образовании национального дохода. z = kyα1xα2 z – национальный доход y – фонд заработной платы x – имеющиеся основные фонды α1 и α2 – коэффициенты

Известно, что

α1+ α2 = 1 соответствует прирост производства пропорционален общему увеличению основных фондов к фонду заработной платы α1+ α2 <1 Убывающая эффективность используемых факторов, т.е. одновременное возрастание на 1% используемого объема из обоих факторов определит рост меньше 1% национального дохода. α1+ α2 >1 возрастающая эффективность используемых факторов.