14. Имитация векторных случайных величин; стандартный метод

При решении прикладных задач методом статистического моделирования часто возникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов. Случайным вектором размерности n или n – мерной системой случайных величин называют вектор: , координатами которого являются случайные числа. В самом общем случае такой вектор определяется совместной функцией распределения вероятностей:

где- n-мерная функция плотности распределения вероятностей.

Рассмотрим моделирование непрерывной СВ ξ = (ξ₁,ξ₂…ξ_m). Ее полное описание задается совместной плотностью распределения :

CТАНДАРТНЫЙ МЕТОД (использование совместного закона распределения) основан на представлении f(x) в виде произведения частной (маргинальной) плотности распределения величины ξ₁ и условных плотностей распределения ξ_к при условии, что ξ₁=x₁, ξ₂=x₂,…ξ_k-1=x_k-1:

Таким образом вектор ξ может моделироваться покомпонентно: сначала величина ξ₁ с плотностью φ₁(x) = f₁(x₁), далее ξ₂ с φ₂(x) = f₂(x|ξ₁) … последней ξ_m c φ_m(x)=f_m(x|ξ₁…ξ_m-1).

Стандартный метод требует определенной вычислительной работы, связанной с нахождением условных и частных плотностей распределения компонент. После вычисления плотностей каждая компонента моделируется как скалярная величина известными методами.

Другие способы моделирования векторных СВ: *метод исключения, *метод на основе корреляционной теории (для нормальных случайных векторов)

16. Имитация нормально распределенных св (одномерный и многомерный случаи)

Имитация нормально распределенных с.в.: ξ~N(μ_x, σ_x²).

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других состоит в том, что это предельный закон, к которому приближаются другие законы распределения при определенных условиях.

Функция плотности вероятности f(x) случайной величины определена выражением:

Если μ_x =0, σ_x =1 – нормальное распределение называется стандартным: , где . Соответственно, если требуется получить из стандартного распределения новое нормальное с заданными значениями среднего и стандартного отклонения, то можно воспользоваться формулой

Так как функция f(x) и f(y) невозможно непосредственно проинтегрировать, для получения кумулятивной функции распреде­ления нельзя использовать метод обратных функций для моделирования случайных величин с нормальным законом распределения.

• ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ – использование центральной предельной теоремы.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА (ЦПТ): Пусть с.в. X1, X2,…,Xn независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание МХi = μ и дисперсию DXi = σ², i=1..n. Тогда сумма этих n с.в. будет подчинена нормальному закону распределения с МХi = nμ и DXi = nσ².

Пусть 1,2,…,n – равномерно распределенные числа на интервале [0,1],тогда , будет подчиняться нормальному закону распределения с МХi = nμ и DXi = nσ²:

• МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

Моделирование невырожденного многомерного нормального распределения

Случайный вектор ξ=(ξ1…ξm) имеет невырожденное m-мерное нормальное распределение, если его плотность распределения имеет вид

µ = (µ1…µm)^T – мат. ожидание ξ µ=Мξ

R=[ρ_ij] – заданная симметрич. положительно определенная матрица порядка «m»:

(x-µ)^TR^-1(x-µ) квадратичная форма переменных y=x-µ с матрицей B=R^-1

R=M(ξ-µ)(ξ-µ)^T – корреляционная матрица вектора ξ

B=R^-1 – матрица точности.

Распределение полностью описывается двумя параметрами вектором µ и матрицей R.

Обозначим ξ ~ N(µ,R)

Если м. о. равно нулю, а корреляционная матрица R равна единичной I_m , т.е. ε~N(0,I_m), то распределение называется стандартным нормальным распределением. Стандартное распределение легко моделируется. Для этого нужно положить все компоненты ξ равными независимым реализациям СВ ε ~ N(0,1).

В общем случае многомерное нормальное распределение моделируется с помощью линейного преобразования

ξ=Aε+µ ε ~ N(0,I_m).

Здесь матрица A=[a_ij] порядка «m» определяется условием R=A*A^T (метод Холецкого)