20. Имитация равномерно распределенных случайных величин на интервале [0; 1].

Построение имитационных моделей требует использования случайных величин с заданным законом распределения. Особое место занимает случайная величина, имеющая равномерное распределения на отрезке [0, 1]. Во-первых, на ее основе можно получить величину, имеющею любой заданный закон распределения. Во-вторых, диапазон изменения такой величины совпадает с возможными значениями вероятности. В-третьих, множество чисел, заключенных между 0 и 1, несчетно и бесконечно, и никакой перечень действительных чисел из заданного интервала не исчерпает этого множества. И, наконец, имеется компактный и быстрый алгоритм имитации такой величины.

Пусть  - непрерывная с.в., имеющая равномерное распределение на интервале (a, b). Тогда:

F(X)-ф-я распределения

f(X)-ф-я плотности

Определим числовые характеристики с.в. , принимающей значения x:

Частный случай ( a =0, b=1):

Такое распределение имеет м.о. M[] = 0.5; D[] = 1/12.

Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с n – разрядными числами. Поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0,1) используют дискретную последовательность 2ⁿ-случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.

На практике используют 3 основных способа генерации случайных чисел: аппаратный (физический), табличный (файловый), алгоритмический (программный) – наиболее рационален. К последним относится МЕТОД ВЫЧЕТОВ (метод Лемера или конгруэнтный метод) - один из основных методов, используемых для имитации равномерно распределенных на [0, 1] случайных величин. В основе метода - математическое понятие сравнения.

Два целых числа a и b сравнимы по модулю m, если они дают одинаковые остатки при делении на m: a = b [mod m]

Обозначим черев γ равномерно распределенную величину на интервале [0, 1]. Пусть x₀ и m - целые числа, и x₀ взаимно просто с a. Если γ₀ = x₀/m - несократимая дробь, то все γ_i будут несократимыми дробями γ_i = x_i/m, где числители x_i определяются формулой: x_i = a x_i-1 [mod m]

Пример: н. у.: m = 7, x₀ = 1, a = 3. Генерируем последовательность γ_i : γ₀ = x₀/m=1/7;

x₁ = a x₀ [mod m] = 3·1 [mod 7] = 3, γ₁ = 3/7;

x₂ = a x₁ [mod m] = 3·3 [mod 7] = 2, γ₂ = 2/7;

…

x₆ = a x₅ [mod m] = 3·5 [mod 7] = 1, γ₆ = 1/7;

x₇ = a x₆ [mod m] = 3·1 [mod 7] = 3, γ₇ = 3/7;

…

Из примера видно, что, начиная с какого-то числа, возникает повторение ранее генерированных чисел. Период приблизительно определяется значением модуля. Оценка отрезка апериодичности мо­жет быть произведена по формуле: , где M [L] - математическое ожидание отрезка апериодичности; N - количество чисел в данном конечном множестве (может оцениваться модулем m).

Полученные числа, учитывая их периодичность, называют псевдослучайными. В одной задаче можно использовать совокупность чисел до первого повтора. После получения псевдослучайных чисел необходимо произвести с помощью специаль­ных тестов проверку их качества (проверка на случайность и равномерность). Такая проверка носит статисти­ческий характер, и для проверки «случайности» можно использовать критерий серий, а для проверки «равномерности» - известные статистические кри­терии согласия (критерий или критерий Колмогорова). Для визуального контроля результатов моделирования можно построить гистограмму и график эмпирической плотности распределения.

Для построения гистограммы интервал изменения данных, в данном случае [0,1], делится на несколько непересекающихся интервалов равной ширины. Количество разбиений k зависит от объема выборки, и может быть оценено по одной из формул: или . Обычно используют нечетное число разбиений от 5 до 20. Для каждого интервала подсчитывают частоту попаданий. Гистограмму можно построить как столбиковую диаграмму с высотой столбиков, равной относительной частоте попаданий в интервал. Многие популярные программные пакеты имеют средства для визуализации данных и для проведения статистического анализа.

Для проверки на «случайность» возможно использование критерия серий. Гипотезы: H₀ - последовательность наблюдений образует случайную выборку. H₁ - отрицание нулевой гипотезы. Если последовательность чисел x₁, x₂,…, x_n носит случайный характер, то и последовательность знаков разностей будет случайной. Серией называется последовательность одинаковых знаков. В качестве статистики критерия t используется количество серий. В качестве критических границ используются границы доверительного интервала количества серий в выборке данного объема , где , , n₍₊₎, n_(-) > 20, , F – функция стандартного нормального распределения. Н₀ принимается, если количество серий попадает внутрь интервала.

Для проверки соответствия данных некоторому закону распределения можно использовать критерий χ². Н₀: в основе выборки лежит равномерное распределение с параметрами (0, 1). H₁: выборка принадлежит к неизвестному распределению F(x).

В основе лежит сравнение эмпирического распределения выборки, выраженного абсолютными частотами сгруппированного ряда измерений, с гипотетическим теоретическим распределением соответствующей генеральной совокупности.

Различие между эмпирическим и предполагаемым теорети­ческим распределениями можно характеризовать нормированной суммой квадратов уклонений между h_i (наблюдаемыми) и np_i (ожидаемыми) частотами — так называемой величиной «хи-квадрат»:

Соответствующая данной реализации случайная величина χ², согласно Пирсону, приближенно удовлетворяет χ²-распределению с т=k-1 степенями свободы. При истинности гипотезы Н₀. Если вычисленное по выборке значение , то гипотеза согласия принимается. Ожидаемая частота попадания во внутренние интервалы не должна быть меньше 5, а для крайних интервалов – меньше 1.