5.4. Варианты заданий

5.1. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

1. у=е^х;

2. ;

3. у=ln x;

4. ;

5. y=sin x;

6. y=e^2x;

7. ;

8. у=(х–1)²;

9. y=cos x;

10. y=ln x²;

5.2. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

11. у=sin x;

12. y=cos x;

13. y=sin(x²);

14. y=sin² x;

15. y=cos² x;

16. y=sin(2x);

17. y=cos(2x);

18. ;

19. y=ln² x;

20. y=ln³ x;

5.3. Для перечисленных функций, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти вторые производные в точках от 1 до 3 с шагом 0,2 и сравнить полученные значения с аналитическими.

21. y=e^2x;

22. ;

23. ;

24. у=(х–1)²;

25. y=ln(x²);

26. y=;

27. y=sin² x;

28. ;

29. ;

30. .

5.5. Контрольные вопросы

1. Что лежит в основе численного дифференцирования?

2. Поясните физический смысл первой производной?

3. Напишите формулу первой производной по трем точкам?

4. Поясните составляющие формулы второй производной?

5. Как зависит точность дифференцирования от количества используемых ординат?

6. Поясните физический смысл второй производной?

7. Зависит ли точность дифференцирования от вида исходной функции?

8. В формулах численного дифференцирования используются равноотстоящие ординаты?

Глава 6 Основы интерполяции

6.1. Постановка задачи

Пусть некоторая функция f(x) задана таблично на интервале [a,b]

f(x_n)=y_n, f(x₁)=y₁, ... , f(x_n)=y_n (6.1) в n+1 точках x₀, x₁, x₂, ... ,x_n.

Под интерполяцией понимается нахождение по таблице значений функции её аналитического описания, позволяющего вычислять значение этой функции от аргумента отсутствующего в таблице, т.е. так называемое чтение "между" строк. Задача сводится к построению функции f(x) (интерполирующей функции), принадлежащей известному классу функций и принимающей в точках x₀, x₁, x₂, ... , x_n (узлах интерполяции) те же значения, что и функция

f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, ... , f(x_n)=y_n,

а в остальных точках отрезка [a,b] приближённо представляющая функцию f(x) с какой-то степенью точности.

При этом допускают, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на нём в каждой точке конечные производные любого порядка, а узлы интерполирования отличны друг от друга.

Через точки x₀, x₁, x₂ , ... , x_n можно провести бесчисленное множество кривых (рис. 6.1). Следовательно, задача отыскания функции f(x) по её значениям, поставленная таким образом, является неопределённой: можно построить бесчисленное множество функций принимающих при x₀, x₁, x₂ , ... , x_n, значение y₀, y₁, y₂, ... , y_n

Рис. 6.1

Чтобы получить единственную f(x) наложим на неё дополнительные ограничения, а именно, в качестве f(x) используем полином P(x) степени на единицу меньше числа заданных значений n+1.