4.5. Примеры

1. Найти частные производные функций:

1. ;

2. ;

3. .

Решение.

1. Частные производные функции двух и более переменных определяются по тем же формулам и правилам, что и функции одной переменной. Следует помнить только одно правило: если по одной переменной дифференцируем, то остальные считаются постоянными.

Имеем: (напомним, что ):

;

.

2. Воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

;

.

3. Здесь имеем дело с производными сложной функции и дроби.

.

Ввиду симметрии выражения относительно х и у можно записать сразу

.

2. Найти полный дифференциал функций:

1. ;

2. .

Решение.

1. Так как , то полный дифференциал имеет вид .

2. Вычислим частные производные по х, у, z

Таким образом, полный дифференциал

4.6. Варианты заданий

4.1. Найти частные производные, частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных (x, y, z, t, …) и полный дифференциал:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

4.7. Контрольные вопросы

1. Дайте определение функции двух переменных. Приведите примеры таких функций.

2. Что такое область определения функции двух переменных?

3. Что такое частные приращения функции двух переменных? Приведите формы их записи.

4. Что такое окрестность точки?

5. Дайте определение предела функции двух переменных.

6. Что такое частные производные функции двух переменных? Сколько существует таких производных первого порядка?

7. Запишите вид полного приращения функции двух переменных.

8. Что такое полный дифференциал?

Глава 5. Численное дифференцирование

При анализе медицинских, инженерных и научных данных часто возникает необходимость найти наклон кривой, которая задана таблицей значений.

Возможна и другая ситуация: f(x) известна, но имеет очень сложное аналитическое выражение.

В первом случае классические методы дифференциального исчисления просто неприемлемы, а во втором случае их использование вызывает значительные трудности. В таких задачах вместо функции f(x) рассматривают интерполирующую функцию P(x), а затем полагают f '(x)  P'(x) на интервале axb. Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции f(x).

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность интерполяции R(x)=f(x)–P(x), то погрешность производной равна производной от погрешности этой функции

r(x)=f '(x)–P'(x)=R'(x).

Такое утверждение справедливо и для производных высших порядков.

В целом же численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование.

5.1. Формулы для вычисления первой производной

Численное дифференцирование весьма чувствительно к погрешностям, вызванным неточностью исходных данных. Значительно меньшую погрешность имеет дифференцирование многочленов наилучшего среднеквадратического приближения (методом наименьших квадратов). На практике часто применяются формулы безразностного дифференцирования для производной первого порядка:

По трем точкам:

(5.1)

По четырем точкам:

; (5.2)

;

.

По пяти точкам:

;

;

; (5.3)

;

.