Интерполяционные формулы конечных разностей

Для функции f(x), заданной таблично, величина _i=y_i+1-y_i называется первой нисходящей конечной разностью. Величина ²y_i=y_i+1-y_i - второй конечной разностью, а, следовательно, для произвольного порядка будем иметь

ⁿy_i=^n-1y_i+1-^n-1y_i. (6.2)

Первая восходящая конечная разность определяется из

,

для разности второго порядка имеем формулу

и аналогично для произвольного порядка получаем

. (6.3)

Нисходящие разности употребляются в основном в начале таблицы, а восхо­дящие разности в конце её.

Для функции f(x), заданной в равноотстоящих точках, для интерполирования вперёд используется формула Грегори-Ньютона в виде.

(6.4)

где t=(x-x₀)/h - число шагов необходимое для достижения точки x, исходя из точки x₀; ^ky₀ - нисходящая конечная разность k-го. Погрешность этой формулы, называемой первой интерполяционной формулой Ньютона, определяется из

(6.5)

где x₀x.

Полином выгодно использовать в окрестностях начального значения x₀, когда t - мало по абсолютной величине.

Если в (6.4) положить n=1, то получим формулу линейного интерполирования

P₁(x)=y₀+ty₀, (6.6)

при n=2 будем иметь формулу квадратичного интерполирования.

. (6.7)

За начальное значение x₀ можно принять любое x. Тогда формула (6.4) содержит только те значения y(x), которые идут после этого начального значения.

Если дана неограниченная таблица значений y, то степень полинома n может быть любой и её выбирают из условия, чтобы ⁿy была с заданной степенью точности постоянной.

Формула Грегори-Ньютона для интерполирования назад (вторая интерполяционная формула Ньютона) имеет вид

(6.8)

где t=(x-x_n)/h.

Погрешность формулы (6.8) определяют по

, (6.9)

в котором .

Формулу рекомендуется применять вблизи конца таблицы. Обе формулы можно использовать для экстраполяции y(x), если она на концах [a,b] изменяется плавно. Шаг экстраполяции берётся h/2.

6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей

Для функции y=f(x) заданной в равноотстоящих узлах центральные разности определяются соотношением

; ; , (6.10)

которое с учётом нисходящих и восходящих разностей имеет вид

y_-n, y_-n+1,…, y_-2, y_-1, y₀ , , y₁,y₂,…,y_k-1,y_n (6.11)

Узлы интерполирования в этом случае размещены симметрично относительно x₀, а их значения

, n.

Значение f(x) в точке x_i<x<x_i+1, не совпадающей с узлом интерполирования, может быть определено с помощью полинома Стирлинга

, (6.12)

где t=(x-x₀)/h , - центральные разности.

Погрешность формулы Стирлинга

. (6.13)

Формулу (6.12) используют для интерполирования в середине интервала [a,b], около конца и начала его (в последнем случае (6.12) даёт более точный результат). Центральную точку x₀ выбирают так, чтобы –0,5t0,5.

Знание центральных разностей позволяет использовать при интерполяции полином Бесселя