- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
Условная вероятность события В – это вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло. Обозначается Р(В|А).
В коробке содержится 3 белых и 3 желтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наугад по одной таблетке, не возвращая их в коробку. Найти вероятность появления белых таблеток при втором испытании (событие В), если при первом испытании была извлечена желтая таблетка (событие А).
Решение: После первого испытания в коробке осталось 5 таблеток, из них 3 белых. Искомое условие вероятности: Р(В/А) = = 0,6.
В коробке находится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекают 3 таблетки. Найти вероятность того, что все 3 таблетки белые.
Решение:
Обозначим; А1 – первая таблетка белая, А2 – вторая таблетка белая, А3 – третья таблетка белая.
Р(A1A2A3)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2);
P(A1)=; P(A2/A1)=; P(A3/A1A2)=;
P(A) = P(A1A2A3)= .
Произведение двух событий – это событие, состоящее в совместном появлении этих событий А и В.
Событие В называются независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В.
Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Для зависимых событий:
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.
Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67. Какова вероятность того, что у двух не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приема в кабинете стоматолога, есть все зубы?
Решение: Р(А В) = Р(А) Р(В) = 0,67 0,67 = 0,45.
В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов — женщины, а 21 % — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность, что он курит?
Решение: Пусть М означает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(М) = 0,3, а Р(МК) = 0,21. Поэтому условная вероятность
Найти вероятность того, что в семьях из двух детей: 1) оба ребенка - мальчики; 2) оба ребенка - девочки; 3) старший ребенок мальчик, а младший - девочка. Вероятность рождения мальчика-0,515.
Решение:
Р(ММ) = Р(М) Р(М) = 0,5150,515 = 0,265;
Р(ДД) = 0,4850,485 = 0,235;
Р(МД) = 0,5150,485 = 0,25.
Известно, что в 3 случаях из 250 на свет появляются близнецы, причем в одном случае - это истинные (монозиготные) близнецы. Какова вероятность, что у определенной беременной женщины родятся близнецы мальчик и девочка. Учтите, что однояйцовые близнецы никогда не бывают разных полов - это обязательно либо 2 мальчика, либо 2 девочки.
Решение: Вероятность иметь дизиготных близнецов равна:
P(A)=;
1–P(B)=.
Искомая вероятность:
Вероятность того, что студент в летнюю сессию сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: 1) только второй экзамен; 2) все три экзамена.
Решение: l) P(B) = P(A2) = P()P(A2)P() = 0,10,90,2 = 0,018;
2) Р(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) = 0,90,90,8 = 0,648.
В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?
Решение. Пусть событие А – обследуемый курит, событие В – обследуемый страдает заболеванием легких.
Тогда согласно условию задачи
Так как 0,36 ≠ 0,4, события А и В зависимы.
Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?
Решение. Пусть событие А — первый организм жив через 20 мин, событие В — второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т. е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. Получаем:
Р(АВ) = 0,7·0,7 = 0,49.
Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, А2, ...,Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , .
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок.
Решение: Вероятность того, что в мишень попадет первый стрелок и не попадет второй, равна:
P(A1) = 0,7(1 – 0,8) = 0,70,2 = 0,14.
Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень и не попадет первый, равна:
P(A2 ) = (1 – 0,7)0,8 = 0,30,8 = 0,24.
Вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:
P(A1) + P(A2 ) = 0,14 + 0,24 = 0,38.
Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки 0,5).
Решение: Пусть вероятность того, что все девочки:
Вероятность того, что не все девочки:
P(хотя бы один мальчик) = .