12.8. Формулы полной вероятности и Байеса

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B₁, B₂, ..., B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(формула полной вероятности).

Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие B₁) равна Р(B₁) = 0,4, по интегральному исчислению (событие В₂) — Р(В₂) = 0,6. Если событие А означает, что задача решена, то Р_B1(А) = 0,9, Р_В2(А) = 0,5. Теперь по формуле полной вероятности имеем:

Р(А) = 0,4·0,9 + 0,6·0,5 = 0,36 + 0,3 = 0,66.

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Решение. Обозначим В₁ — выбор первого ящика, В₂ — выбор второго ящика, В₃ — выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Р(В₁) = Р(B₂) = Р(В₃) = . Если выбран первый ящик, то . Аналогично , .

Наконец, по формуле полной вероятности получаем:

В санатории 30% пациентов – мужчины (М) и 70% – женщины (Ж). Сердечные болезни среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность, что наугад выбранный пациент сердечник?

Решение. Обозначив С – наличие сердечного заболевания, можно написать Р(М) = 0,3, Р(Ж) =0,7, Р_М(С) = , Р_Ж(С) = .

Подставляя это в формулу полной вероятности G), получим

Формула Байеса применяется, когда событие A, которое может появиться только с одной из гипотез H₁, H₂ ,..., Н_n, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез Р(H₁), Р(H₂), ..., Р(H_n), известных до испытания, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез P(H₁/A), P(H₂/A),..., Р(H_n/А):

Или вместо Р(А) используем ее значение, вычисленное по формуле полной вероятности:

Итак, пусть до опыта имеются гипотезы H₁ ,H₂, ..., Н_n. После опыта становится известной информация о результатах опыта, но не полная, а именно: результаты наблюдений показывают, что наступило некоторое событие.

Считается, что до опыта были известны (априорные) вероятности гипотез Р(H₁),Р(H₂), ...,Р(Н_n) и условные вероятности P(A/H₁), P(A/H₂),..., Р(A/H_n). Необходимо определить апостериорные вероятности гипотез P(H₁/A), P(H₂/A),..., Р(H_n/А).

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход называется байесовским.

Предположим, что в некоторой большой популяции мужчин и женщин поровну. В этой популяции 5% мужчин и 0,25% женщин страдают дальтонизмом. Случайным образом выбирают одного дальтоника. Какова вероятность того, что этот человек – мужчина?

Решение: Популяция разделена на два непересекающихся подмножества – мужчин и женщин. Мы ищем Р(МД). По теореме Байеса

Установлено, что курящие мужчины в возрасте свыше 40 лет умирают от рака легких в 10 раз чаще, чем не курящие мужчины. Если предположить, что 60% мужчин курящие, то какова вероятность того, что мужчина, умерший от рака легких, был курящим?

Решение: Событие К – мужчина курит, P(К)=0,6.

Событие Р – мужчина умирает от рака легких.

Событие Н – мужчина не курит

Р(Н)=0,4.

Тогда

94% - курящих мужчин умирают от рака легких

6% - некурящих мужчин умирают от рака легких.

Пример 28. Предположим, что женщина с группой крови О и мужчина с группой крови АВ имеют двоих близнецов с группой крови В. Если известно, что примерно в 1/4 случаев рождения близнецов они происходят из одного яйца, то какова вероятность того, что однояйцевыми являются и упомянутые близнецы?

Решение. Множество мальчиков-близнецов разбивается на однояйцевых и двуяйцевых. По теореме Байеса искомую вероятность можно записать как

Чтобы вычислить эти условные вероятности, мы должны знать, что когда скрещиваются О и АВ, у 50% потомства окажется группа А и у 50% — группа В. Если близнецы происходят из одного яйца, то у них одна группа крови. Поскольку А и В равновероятны, Р (у обоих группа В | однояйцевые) = 1/2. Если бы они развивались из двух разных яиц, то у каждого была бы группа В с вероятностью 1/2. Поэтому Р (у обоих группа В| двуяйцевые) = 1/4. Следовательно,