- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
12.11. Варианты заданий
12.1. Вероятность успеха в эксперименте составляет 95%, а неудачи—-5%. Эксперимент повторяют пять раз. Определите вероятности следующих событий а) ни одного успеха: б) ни одной неудачи; в) четыре успеха и одна неудача.
12.2. В любой данный день в июне погода может быть хорошей (с вероятностью 50%), посредственной (с вероятностью 25%) или плохой (с вероятностью 25%). Предположим, что погода в данный день никак не влияет на погоду в любой другой день. Какова вероятность того, что в течение одной недели в июне будет семь хороших дней? четыре хороших дня, два посредственных и один плохой день?
12.3. В некоторой большой популяций у 40% людей волосы черные, у 40% рыжие и у 20% светлые. Если из популяции случайно выбирают 10 человек, то каковы вероятности следующих событий:
а) 5 черноволосых, 5 рыжих;
б) 4 черноволосых, 4 рыжих, 2 светловолосых;
в) 3 черноволосых, 3 рыжих, 4 светловолосых?
12.4. Дальтонизмом страдает 1% большой популяции. Допустим, что из нее наугад выбирают n человек. Какова вероятность того, что ни один из n человек не окажется дальтоником? Сколь велико должно быть n, чтобы эта вероятность была меньше 10%?
12.5. Машина дает продукцию, которая должна удовлетворять определенным требованиям. Вероятность того, что данная единица продукции приемлема, составляет 95%. Из продукции машины делают выборку в количестве 10 ед. Какова вероятность того, что все 10 ед. продукции окажутся приемлемыми?
12.6. По оценкам, волк, в одиночку нападающий на лося, добивается успеха в 8% столкновений. Какова вероятность того, что в пяти столкновениях ни один лось не станет добычей волка?
12.7. В каждом полушарии человеческого мозга имеется четко определяемая слуховая область. В анатомических исследованиях было установлено, что слуховая область левого полушария более развита в 65% рассмотренных случаев, менее развита в 10% и развита в одинаковой с правым полушарием степени в 25% случаев. Какова вероятность того, что из группы в пять случайно выбранных человек в три эти категории соответственно попадут три, ни одного и два человека?
12.8. Замечено, что слушатели вводного курса по количественному химическому анализу достигают приемлемых результатов в 80% титрований. Один студент добился приемлемого результата лишь однажды в шести титрованиях. Какова вероятность случайного наступления этого события? Как вы думаете, станет ли этот студент химиком-экспериментатором?
12.9. При заболеваниях щитовидной железы применяется йодная терапия. Было замечено, что у 50% больных наступает быстрое улучшение, на 40% больных терапия не оказывает заметного эффекта, а у 10% она вызывала ухудшение состояния. Эту терапию применяют девять больных. Каковы вероятности того, что: а) все девять почувствуют улучшение; б) у пятерых будет улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и одному станет хуже; в) у троих будет, улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и троим станет хуже?
12.10. Лечение одного заболевания приводит к выздоровлению в 75% случаев. Лечилось шесть больных. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все шестеро; б) не выздоровит ни один; в) выздоровят по крайней мере четверо?
12.11. Шесть человек больны заболеванием, для которого коэффициент выздоровления составляет 98%. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все шестеро; б) ни один не выздоровит; б) выздоровят только пятеро?
12.12. Шансы волка добыть пищу за каждый период охоты составляют 60%. Какова вероятность того, что успешными оказалось больше половины всех периодов охоты, если всего был 31 период? если всего было 14 периодов?
12.13. а) Сколько нужно бросить костей, чтобы вероятность выпадения нечетного числа хотя бы на одной из них была больше 90%? б) Сколько нужно бросить костей, чтобы вероятность выпадения хотя бы одной пятерки была больше 50%?
12.14. В одном городе 50% населения предпочли бы более строгий контроль за огнестрельным оружием, 30% — более слабый контроль и 20% хотели бы сохранить существующее положение вещей. Для опроса выбрано случайным образом 12 человек. Каковы вероятности того, что: а) все хотят усилить контроль; б) половина опрошенных хотят усилить, а половина — ослабить контроль; в) равные количества опрошенных предпочитают три альтернативы?
12.15. Метеоролог обращается за субсидией для поездки в Испанию с целью проверки теории о том, что «дождь в Испании идет в основном на равнине». Он планирует провести наблюдения в такое время года, когда вероятность дождя на равнине в любой данный день составляет 20%. (Предполагается, что эта, вероятность не зависит от предшествующей погоды.)
а) Сколько дней должен запланировать метеоролог провести в Испании, чтобы на 99% быть уверенным в том, что он застанет дождь?
б) Допустим, что метеорологу были выделены денежные средства на 15 дней в Испании и что за первые 10 дней не было ни одного дождя. Какова вероятность того, что его поездка окажется неудачной, т. е. что он не увидит ни одного дождя?
12.16. В популяции дрозофилы у 20% особей имеется мутация крыльев. Если из популяции выбирают наугад шесть мух, то какова вероятность мутации у двух из них? по крайней мере у одной? меньше чем у пяти?
12.17. Кофеин и бензедрин считаются стимуляторами, имеющими некоторую способность противодействовать угнетающему влиянию алкоголя. В эксперименте по проверке их относительной эффективности 40 добровольцев приняли по 6 унций алкоголя каждый. Добровольцы были разбиты затем на 20 пар, и один член каждой пары получал бензедрин, а другой — кофеин. Согласно некоторому тесту, бензедрин приводил к более быстрому восстановлению во всех 20 парах. Какова вероятность такого результата, если считать, что в воздействии кофеина и бензедрина нет никакой разницы?
12.18. В хлопке имеется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из пяти волокон окажется не более двух коротких?
12.19. Всхожесть семян данного растения оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдёт не менее 6.
12.20. Найти наивероятнейшее число появлений некоторого события при 16 испытаниях, если вероятность появления его в отдельном испытании равна 0,7.
12.21. Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,6 общего количества волокон. При каком общем количестве волокон хлопка наивероятнейшее число длинных окажется равным 20?
12.22. На каждые 20 приборов приходится в среднем 6 неточных. Определить наивероятнейшее число точных приборов из наудачу взятых 8 приборов.
12.23. Если в среднем левши составляют 1 %, то какова вероятность того, что среди 200 человек: 1) 4 левши; 2) по крайней мере 4 левши.
12.24. В аптеку поступило 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Определить вероятность того, что аптека получит разбитых бутылок:
1) ровно одну; 2) хотя бы одну.
12.25. Дежурная аптека обслуживает 20000 населения. Вероятность того, что в ночное время один посетитель придет в аптеку, равна 0,0002. Найти вероятность того, что в ночное время в аптеку:
а) никто не придет;
б) придут 3 посетителя;
в) придет хотя бы один посетитель.