- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
I. Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ , т.е. . Предположим, что (у=0 – решение данного уравнения), разделяя переменные и интегрируя, получим
, ,
Отсюда .
Общее решение ЛНДУ ищем в виде .
Найдем .
Подставим у и в исходное уравнение:
или .
Получили или . Тогда .
Следовательно, общее решение исходного уравнения есть y=(x+C) sin x.
II. Метод Бернулли
Пусть. Тогда и уравнение принимает вид
,
или
.
Подберем функцию u(x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ,
.
Откуда u=С1sin x.
Пусть С1=1, u=sin x.
, отсюда , т.е. .
Итак, y=(x+C)·sin x, есть общее решение данного ЛНДУ.
9. Найти общее решение уравнения
Решение. Данное уравнение не является линейным относительно х и . Так как , то приведем исходное уравнение к виду (10.6):
, т.е. или Далее это ДУ решим двумя методами:
1. Метод вариации произвольной постоянной
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ Разделяя переменные и интегрируя, получим ln|x| = ln |y| + ln |C1|, C1.
Общее решение ЛОДУ можно записать так х= Су, (так как х=0 – решение).
Общее решение заданного (преобразованного) уравнения ищем в виде х=С(у)у (постоянную С заменили неизвестной функцией С(у)). Подставляя х и в ЛНДУ, придем к равенству:
, т.е.
.
Отсюда . Интегрируя, имеем С(у) = у + С.
Таким образом, общее решение ЛНДУ есть х = (у + С)у или х = у2 + Су. Заметим, что у=0 также является решением, и для нашего примера оно является особым.
2. Метод подстановки
Полагаем , где u=u(y), v=v(y) – функции переменной у. Подставим х и в уравнение
или
. (*)
Решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ,
откуда v=Cy, .
Выбираем одно из частных решений (самое простое), например, при С=1, т. е. v=y. Подставив v=y в уравнение (*), получим или . Тогда u = у + С. Следовательно, общее решение заданного уравнения х=у2+Су, , при этом у=0 – особое решение.
10.6. Варианты заданий
Уравнения с разделяющимися переменными
10.1. Найти общие интегралы (общие решения) уравнений.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
10.2. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) .
Однородные уравнения первого порядка
10.3. Найдите общие решения уравнений:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
10.4. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
-
;
-
xy2dy=(x3+y3)dx, y(1)=3;
-
(x2+y2)dx=xydy, y(1)=0;
-
(x – y)dy = y dx, y(0)=1;
-
=+sin(),y(1)=π/2;
-
-
xcos()dy–ycos()dx+xdx=0, y(1)=0.
Линейные уравнения первого порядка
10.5. Решить дифференциальные уравнения:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
10.6. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:
-
;
-
;
-
-
;
-
;
-
.