12.4. Контрольные вопросы

1. Что такое событие? Что понимать под событиями совместными и несовместными? единственно возможными? равновозможными? невозможными и достоверными? противоположными? эквивалентными? зависимыми и независимыми? Привести примеры перечисленных событий.

2. Какие события образуют полную группу?

3. Что понимается под вероятностью события в ее классическом определении?

4. В каких приделах может изменяться вероятность событий? Чему равны вероятности событий: достоверного? невозможного?

5. В чем заключается правило умножения событий?

6. Как определить число перестановок? размещений? сочетаний? На подсчет количеств каких элементов комбинаторики влияет порядок размещения элементов в выборках?

7. Что понимается под полной вероятностью? Как ее можно определить? Поясните смысл всех величин , входящих в формулу полной вероятности.

8. Что представляет собой гипотезы в формуле полной вероятности? Что такое вероятность гипотез?

9. Поясните смысл всех величин, входящих в формулу Байеса. Для чего используется эта формула?

10. В каких опытах для определения числа вероятности используется формула Бернулли? Поясните смысл формулы и смысл входящих в нее величин.

11. Выпишите формулы Муавра – Лапласа и Пуассона. Поясните их смысл и смысл входящих в них величин.

12. В чем отличие в использовании формулы Бернулли, Муавра – Лапласа и Пуассона для решения задач теории вероятностей и в чем сходство?

Глава 13. Статистический анализ результатов исследований

13.1. Основные понятия математической статистики

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

В математической статистике принято выделять два основных направления исследований:

1.Оценка параметров генеральной совокупности.

2.Проверка статистических гипотез (некоторых априорных предположений).

Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных при наблюдениях случайной величины.

Х_Г = {х₁, х₂, х₃, …, х_N, } = { х_i ; i=1,N }

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность – есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой.

Х_В = {х₁, х₂, х₃, …, х_n, } = { х_i ; i=1,n }

Х_В  Х_Г, n  N

Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) из генеральной совокупности для непосредственного изучения. Количество объектов в выборке называется объемом выборки и обозначается n. Обычно выборка составляет 5%-10% от генеральной совокупности.

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным.

Например, популяция представляет собой множество индивидуумов. Изучение целой популяции трудоемко и дорого, поэтому собирают данные по выборке индивидуумов, которых считают представителями этой популяции, позволяющими сделать вывод относительно этой популяции.

Однако, выборка обязательно должна удовлетворять условию репрезентативности, т.е. давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Как сформировать репрезентативную (представительную) выборку? В идеале стремятся получить случайную (рандомизированную) выборку. Для этого составляют список всех индивидуумов в популяции и случайно их отбирают. Но иной раз затраты при составлении списка могут оказаться недопустимыми и тогда берут приемлемую выборку, например, одну клинику, больницу и исследуют всех пациентов в этой клинике с данным заболеванием.

Каждый элемент выборки называется вариантой. Число повторений варианты в выборке называется частотой встречаемости . Величина называется относительной частотой варианты, т.е. находится как отношение абсолютной частоты варианты ко всему объему выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Рассмотрим три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный.

Ранжированный ряд - это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака.

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, состоящую из граф, либо строк: конкретного значения признака х_i и абсолютной частоты n_i (или относительной частоты ω_i) проявления i-го значения признака x.

Примером вариационного ряда служит таблица

Значение		14	14,3	14,7	15,0	15,5
Частота		0,08	0,16	0,29	0,34	0,13

Статистическое распределение – это совокупность вариант и соответствующих им частот . Для проверки правильности записи статистического распределения используют условие нормировки: .

Задано распределение частот выборки объема n=20.

	2	6	12
	3	10	7

Написать распределение относительных частот.

Решение: Найдем относительные частоты. Для этого разделим частоты на объем выборки:

Распределение относительных частот имеет вид:

	2	6	12
	0,15	0,5	0,35

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.

Дискретный ряд можно изобразить графически. В прямоугольной декартовой системе координат отмечаются точки с координатами () или (), которые соединяются прямыми линиями. Такую ломаную называют полигоном частот.

Построить дискретный вариационный ряд (ДВР) и начертить полигон распределения 45 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на приемных экзаменах:

39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.

Решение: Для построения вариационного ряда различные значения признака x (варианты) располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту.

	37	38	39	40	41	42	43	44
	1	3	5	8	12	9	5	27

Построим полигон этого распределения:

Рис. 13.1. Полигон частот

Интервальный вариационный ряд используется при большом числе наблюдений. Для построения такого ряда надо выбрать число интервалов признака и установить длину интервала. При большом числе групп величина интервала будет минимальна. Число групп в вариационном ряду можно найти по формуле Стерджеса: (k-число групп, n - объем выборки), а ширину интервала –

где - максимальное; - минимальное значения вариант, а их разность R носит название размаха вариации.

Исследуется выборка из 100 человек из совокупности всех студентов медицинского ВУЗа.

Решение: Рассчитаем число групп: . Таким образом, для составления интервального ряда данную выборку лучше разбить на 7 или 8 групп. Совокупность групп, на которые разбиваются результаты наблюдений и частот получения результатов наблюдений в каждой группе, называют статистической совокупностью.

Для наглядного представления статистического распределения пользуются гистограммой.

Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных на одной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине интервала, а высота равна или частоте попадания в интервал или относительной частоте ω_i.

Наблюдения за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера, в течение минуты дали следующие результаты:

21 30 39 31 42 34 36 30 28 30 33 24 31 40 31 33 31 27 31 45 31 34 27 30 48 30 28 30 33 46 43 30 33 28 31 27 31 36 51 34 31 36 34 37 28 30 39 31 42 37.

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I интервал 20-24; II интервал 24-28 и т.д.) и начертить гистограмму.

Решение: n=50

Интервал	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52
Частота	1	4	22	8	7	4	2	2

Гистограмма этого распределения имеет вид:

Рис. 13.2. Гистограмма распределения