- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
12.2.2. Функция распределения случайных величин
Функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X:
F(x) = Р(Х < х). Ее также называют интегральной функцией распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
Свойства функции распределения:
0≤F(x)≤1
F(x) – неубывающая функция
F(- ∞)=0, F(+∞)=1
F(x) непрерывна слева в любой точке
P{a≤X<b}=F(b)-F(a).
Функция распределения ДСВ имеет вид
Пример 4.
Дан ряд распределения случайной величины:
|
1 |
4 |
5 |
7 |
|
0,4 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
Найти и изобразить график ее функции распределения.
Решение: Будем задавать различные значения ; и находить для них F(x):
1. Если x≤1, F(x)=0.
2. Пусть 1< x ≤4, (например x = 2), F(x) = P(x=l) = 0,4.
3. Пусть 4< x ≤5, (например х = 4,25),
F(x) = Р(Х < х) = Р(х = 1) + Р(х = 4) = 0,4 + 0,1 = 0,5.
4. Пусть 5<x≤7,
F(x) = (Р(х = 1) + Р(х = 4) + Р(х = 5) = 0,5 + 0,3 = 0,8.
5. Пусть x>7, F(x) = (Р(х = 1) + Р(х = 4) + Р(х = 5) + P(x = 7))=0,8 + 0,2 = 1.
Рис. 12.3: Функция распределения дискретной случайной величины
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.
12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
.
Свойства математического ожидания:
M(C)=C, где C – произвольная постоянная
M(CX)=C·M(X)
M(X±Y)=M(X)±M(Y)
M(X·Y)=M(X) M(Y)
Пример 5.
Известны значения распределения случайных величин X и Y - число очков выбиваемых первым и вторым стрелками.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0,15 |
0,11 |
0,04 |
0,05 |
0,04 |
0,10 |
0,10 |
0,04 |
0,05 |
0,12 |
0,20 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0,01 |
0,03 |
0,05 |
0,09 |
0,11 |
0,24 |
0,21 |
0,10 |
0,10 |
0,04 |
0,02 |
Необходимо выявить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Построить многоугольники распределения.
Решение:
Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.
М(Х) = 00,15 + 10,10 + 20,04 +...+ 90,12 + 100,2 = 5,36.
M(Y) = 00,01 + 10,030,05 +...+ 90,04 + 100,02 = 5,36.
То есть среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаково.
2. Дисперсия дискретной случайной величины. Слово "дисперсия" означает "рассеяние":
D(X) = M(X-M(X))2 или D(X) = M(X2)-(M(X))2.
Дисперсией D(x) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.
Свойства дисперсии:
D(C)=0, где C – произвольная постоянная
D(CX)=C2·D(X)
D(X±Y)=D(X)+D(Y)
Если X- дискретная случайная величина, то или , где a=M(X).
3. Среднее квадратическое отклонение σ (стандартное отклонение или стандарт) случайной величины X- это арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:
В примере 5 о стрелках вычислить дисперсию числа выбитых очков для каждого стрелка.
Решение: Очевидно, что лучше стрелял тот стрелок, у которого при равенстве средних значений числа выбитых очков меньше отклонение этого числа относительно среднего значения (дисперсия).
D(X) = (05,36)20,15 + (1 - 5,36)20,11 +...+ (10-5,36)20,2 =13,6.
D(Y) =(05,36)20,01 + (1 - 5,36)20,03 +...+ (10-5,36)20,02 =4,17.
Ответ: Дисперсия меньше у второго стрелка.