- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
5.2. Формулы второй производной
По четырем точкам:
; (первое значение)
; (внутренние точки) (5.4)
. (последнее значение)
По пяти точкам:
;
;
; (5.5)
;
.
Заметим, что с ростом порядка производной резко падает точность численного дифференцирования. Поэтому на практике редко применяют формулы для производных второго порядка.
5.3. Примеры
1. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, определить первые производные для функции у=х2 на интервале [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить их значения с аналитическими.
Решение.
Воспользуемся формулами (5.1):
Для сравнения этих значений с аналитическими составим таблицу:
i |
хi |
у=х2 |
Аналитические значения у΄=2х |
Численные значения у΄ |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 |
1 1,44 1,96 2,56 3,24 4 4,84 5,76 6,76 7,84 9 |
2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 |
2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 |
Таким образом, мы видим, что все значения первой производной полностью совпадают с аналитическими.
2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, определить первые производные для функции у=х3 на отрезке [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить эти значения с аналитическими.
Решение.
Пользуемся формулами (5.2):
и т.д. по формуле для .
Для сравнения полученных значений с аналитическими составим таблицу:
i |
хi |
у=х3 |
Аналитические значения у´=3х2 |
Численные значения у´(х) |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 |
1 1,728 2,744 4,096 5,832 8 10,648 13,824 17,576 21,952 27 |
3 4,32 5,88 7,68 9,72 12 14,52 17,28 20,28 23,52 27 |
3 4,32 5,88 7,68 9,72 12 14,52 17,28 20,28 23,52 27 |
Получим, что для функции у=х3 численное дифференцирование по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.
3. Найти вторую производную для функции у=х3 на отрезке [1; 3] с шагом 0,2, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам и сравнить полученные значения с аналитическими.
Решение.
Воспользуемся формулами (5.4):
(первое значение)
(последнее значение)
и т.д. по формуле для внутренних точек.
Для сравнения составим таблицу:
i |
хi |
у=х3 |
Аналитические значения у″=6х |
Численные значения у″ |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 |
1 1,728 2,744 4,096 5,832 8 10,648 13,824 17,576 21,952 27 |
6 7,2 8,4 9,6 10,8 12 13,2 14,4 15,6 16,8 18 |
6 7,2 8,4 9,6 10,8 12 13,2 14,4 15,6 16,8 18 |
Таким образом, получим, что для функции у=х3 численное нахождение второй производной по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.