- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
9.6. Варианты заданий
Для всех вариантов выполнить:
а). С помощью формул прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить интегралы при заданном числе разбиений.
б). Сравнить полученные результаты с точными значениями интегралов, найденными аналитически. Для каждого метода рассчитать значения абсолютной () и относительной () погрешностей вычислений.
Используемые формулы:
в). Сделать выводы о точности полученных результатов.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
9.7. Контрольные вопросы
-
Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?
-
Дайте определение, в том числе в виде математического выражения, неопределенного интеграла.
-
Что такое подынтегральная функция? подынтегральное выражение?
-
В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? Метод интегрирования по частям?
-
Что называется определенным интегралом?
-
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
-
В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла? экономический смысл?
-
В чем суть применения метода прямоугольников при вычислении определенных интегралов? метода трапеций?
-
Какая аппроксимация подынтегральной функции осуществляется при выводе формулы Симпсона.
-
Могут ли результаты вычисления определенных интегралов по формулам трапеций или прямоугольников быть точнее результатов, полученных по формуле Симпсона?
Глава 10. Дифференциальные уравнения
10.1. Основные определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x), и ее производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение можно записать так:
(10.1)
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция y=f(x) зависит от одного независимого переменного.
Если независимых переменных две и больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в данное уравнение.
Например, – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка; – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка; – уравнение в частных производных первого порядка.
Решением или интегралом дифференциального уравнения называется такая функция y=φ(x), которая, будучи подставлена в уравнение (10.1), обращает его в тождество.
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения (10.1) называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную y=φ(x, C).
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. На практике частное решение получается из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а исходя из тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий, для уравнения их записывают так
(10.2)
где – заданные числа.
Для дифференциального уравнения первого порядка начальные условия задают в виде f(x0)=y0 или , или у=y0 при х=x0.
Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (10.2) называется задачей Коши.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
Среди дифференциальных уравнений встречаются такие, которые имеют решения, не получающиеся из общего решения ни при каких значениях С. Такие решения называются особыми.