1.3. Замечательные пределы

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. , где

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 +…+a_n, Q(x) = b₀x^m + b₁x_m–1 +…+b_m. Преобразуем данную дробь следующим образом

Таким образом,

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:, где е постоянная, которая приблизительно равна 2,718281828…

Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х0:

1. ~ х;

2. 1–cos x ~ ;

3. tg x ~ x;

4. arcsin x ~ x;

5. arctg x ~ x;

6. ln (1+x) ~ x;

7. a^x–1 ~ xln a;

8. ~ .

1.4. Примеры

1. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение.

1. Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим:

2. Так как пределы числителя и знаменателя при х2 равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . «Раскроем» эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х – 2:

.

3. Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавимся от иррациональности в числителе):

4. Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность. Поделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х²:

Таким образом,

2. Найти пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение.

1. Сделаем замену у=αх; тогда у0 при х0 и . В последнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом. Таким образом,

2. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

3. Сводя предел к первому замечательному пределу, сделаем замену у=х–. Тогда у0 при х, а х=у+, откуда:

Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем – первый замечательный предел.

4. Так как х0, то воспользуемся эквивалентностью №4:

.

1.5. Варианты заданий

1.1. Найти пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

1.2. Найти пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

1.3. Найти пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. 

1.6. Контрольные вопросы

1. Что называется пределом функции?

2. Что такое предел функции «справа»? «слева»?

3. Какие свойства пределов функций вы знаете?

4. В каких случаях нельзя использовать свойство предела частного от деления двух функций?

5. Как можно раскрыть неопределенность вида ?

6. Как можно раскрыть неопределенность вида ?

7. Какие пределы называются замечательными?

8. В каких случаях можно пользоваться эквивалентностями?