- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
2. Метод подстановки (метод Бернулли).
Решение уравнения (10.7) ищется в виде, где u(x) и v(x) неизвестные функции. В этом случае линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, откуда и определяются вспомогательные функции u и v.
Подставляя выражения для y и в (10.7), получим или
(10.9)
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например u(x), можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы , т.е. в качестве u(x) возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными, например, .
Подставим u(x) в (10.9) и найдем v(х) как общее решение получившегося уравнения с разделяющимися переменными:
Тогда .
9.5. Примеры
Уравнения с разделяющимися переменными
1. Найти общий интеграл уравнения 6ex cos2y dx + (1 – 2ex) ctg y dy=0.
Решение. Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе его части на выражение cos2y (1 – 2ex):
.
Интегрируя обе части уравнения, имеем
–3 ln|1–2ex|+ln|tg y| = ln |C|, C
(поскольку C – произвольная постоянная, то для удобства дальнейших преобразований мы заменили С на ln|C|). Отсюда
или .
Получили общий интеграл данного уравнения. При делении на cos2y(1–2ex) мы могли потерять решения , k – целое число, x= –ln2, но они содержатся в общем интеграле, если подставить значение С = 0.
2. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде . Разделяя переменные, будем иметь и, следовательно, .
После потенцирования получим общее решение
(10.10)
При делении на у мы могли потерять решение у=0, но последнее содержится в формуле (10.10) при С=0.
3. Найти частное решение ДУ при начальных условиях y(1)=1.
Решение. Разделяя переменные, приведем данное уравнение к виду . Интегрируя обе части уравнения, получим . Это и есть общий интеграл исходного уравнения.
Подставим теперь начальные условия и найдем произвольную постоянную С: , т.е. . Следовательно, , откуда получаем искомое частное решение .
Однородные уравнения первого порядка
4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0.
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,
P(λx, λy)=λx+λy=λ(x+y)= λP(x,y), Q(λx, λy)= –λx=λ(–x)=λQ(x, y).
Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение у и dy в данное уравнение, получим
(х+uх)dх–х(хdu+udх)=0, откуда хdх+uхdх–х2du–хudх=0; хdх–х2du=0 или dх–хdu=0.
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим
, .
Заменяя в полученном выражении u на , получим у=xln(Cx). Это и есть общее решение данного уравнения.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (9.3.2):
. Иначе . Далее применять указанную выше подстановку и т.д.
5. Найти общее решение уравнения:.
Решение. Это однородное уравнение третьей степени. Преобразуем его к виду (10.6):
Полагая у=uх, находим Подставим значения в данное уравнение: . Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные и интегрируя, находим:
.
Подставим теперь в полученное решение. Имеем где .
Итак, общее решение исходного уравнения
6. Найти частное решение уравнения если у=–1 при х=1.
Решение. Перепишем уравнение в виде
х2dy = (xy + y2)dx (*)
и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu. Подставив выражение у и dy в уравнение (*), имеем
х2(udх + хdu)=(х.uх+u2х2)dх;
x2(udx+xdu)=x2(u+u2)dx;
udx+xdu= udx+ u2dx; т.е.
xdu= u2dx.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим
.
Так как u=, то .
Используя начальные условия х=1, у= –1, имеем 1=ln1+C, откуда С=1. Следовательно,
,
Отсюда получаем искомое частное решение данного уравнения .
7. Привести дифференциальное уравнение
к однородному.
Решение. Иначе это уравнение можно записать так . Здесь , поэтому положив x=u+α, y=v+β, получаем (u+β+2)du–(2u+2α+v+β+6)dv=0, т. е.
(u+(β+2))du–(2u+v+(2α+β+6))dv=0.
Подберем α и β так, чтобы Решая систему, находим
α=–2, β=–2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду (10.5): , т.е. является однородным.
Линейные уравнения первого порядка
8. Решить уравнение .
Решение. Здесь P(x)=–ctgx, Q(x)=sinx. Решим уравнение двумя методами.