- •Введение
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы
- •Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •Дифференциал сложной функции
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •Вертикальные асимптоты
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы
- •Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы
- •Глава 6 Основы интерполяции
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7. 1. Непосредственное интегрирование
- •7. 2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7. 3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •2. Метод подстановки (метод Бернулли).
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •11.2. Метод Рунге – Кутта
- •11.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •12.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •12.4. Контрольные вопросы
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения.
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •13.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотез выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •14.7. Контрольные вопросы
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2 – распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 1. Предел функции 4
- •Глава 2. Производная и дифференциал 10
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 163
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 183
13.1. Варианты заданий
13.1.Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (В):
227 219 215 230 232 223 220 222 218 219 222 221 227 226 226 209 211 215 218 220 216 220 220 221 225 224 212 217 219 220.
Построить статистическое распределение и начертить полигон.
13.2.Наблюдения за сахаром крови у 50 человек дали такие результаты:
3.94 3.84 3.86 4.06 3.67 3.97 3.76 3.61 3.96 4.04
3.82 3.94 3.98 3.57 3.87 4.07 3.99 3.69 3.76 3.71
3.81 3.71 4.16 3.76 4.00 3.46 4.08 3.88 4.01 3.93
3.92 3.89 4.02 4.17 3.72 4.09 3.78 4.02 3.73 3.52
3.91 3.62 4.18 4.26 4.03 4.14 3.72 4.33 3.82 4.03
Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I - 3.45-3.55; II - 3.55-3.65 и т. д.) и изобразить его графически, начертить гистограмму.
13.3.Построить полигон частот распределения скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 100 человек:
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
10 |
15 |
30 |
33 |
12 |
13.4.Построить гистограмму распределения скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 50 человек:
Интервал |
|
2-5 |
9 |
5-8 |
10 |
8-11 |
25 |
11-14 |
6 |
13.2. Статистические оценки параметров распределения.
13.2.1. Характеристики положения
Мода () – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости или =, такое, что n() = max.
Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.
Например, для распределения:
|
16 |
17 |
18 |
20 |
|
5 |
1 |
20 |
6 |
=18=, так как =20=max.
Для определения моды интервальных рядов служит формула:
где - нижняя граница модального интервала, т. е. интервала с наибольшей частотой встречаемости ; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным; - ширина интервала.
Определить моду ряда распределения кальция (мг %) в сыворотке крови обезьян.
Интервалы |
8,6-9,3 |
9,4-10,1 |
10,2-10,9 |
11,0-11,7 |
11,8-12,5 |
12,6-13,3 |
13,4-14,1 |
14,2-14,9 |
Частота |
2 |
6 |
15 |
23 |
25 |
17 |
7 |
5 |
Решение: Частота модального класса = 25, его нижняя граница . Частота класса, предшествующего модальному, = 23; частота класса, следующего за модальным, = 17; = 0,8. Подставим эти данные в формулу, находим:
Найдите моду распределения роста 1000 взрослых мужчин:
Рост, см |
Число мужчин |
Рост, см |
Число мужчин |
143-145 |
1 |
167-169 |
170 |
146-148 |
2 |
170-172 |
120 |
149-151 |
8 |
173-175 |
64 |
152-154 |
26 |
176-178 |
28 |
155-157 |
65 |
179-181 |
10 |
158-160 |
120 |
182-184 |
3 |
161-163 |
181 |
185-187 |
1 |
164-166 |
201 |
|
|
Решение:
Медиана Ме – это значение признака, относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.
Например, в распределении:
12 14 16 18 20 22 24 26 28
медианой будет центральная варианта, т.е. Ме = 20, так как по обе стороны от нее отстоит по 4 варианты.
Для ряда с четным числом членов 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 медианой будет полусумма его центральных членов, т.е.
Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда
есть оценка математического ожидания случайной величины по выборке.
В выборке взрослых мужчин n = 50 определяли содержание гемоглобина в крови. У =30 оно оказалось равным в среднем 70%. Для другой группы мужчин = 20 этот показатель составил 50%. Найти среднюю арифметическую из этих двух средних.
Решение:
По формуле: