7.3. Таблица простейших интегралов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. ,

14. 

15. ,

16. 

17. 

7.4. Основные методы интегрирования

7. 1. Непосредственное интегрирование

Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.

Пример. Найти интегралы:

1. .

Решение. На основании свойств 3 и 4 неопределенного интеграла и таблицы интегралов имеем

2. .

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:

3. .

7. 2. Метод подстановки (замена переменной)

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1. , где t – новая переменная, а φ(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда формула замены переменной

.

2. , t – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Пример. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

1. .

Решение. Введем подстановку t = x³+5. Тогда dt = d(x³+5); dt=3x²dx. Отсюда x²dx=dt/3. Таким образом,

.

Ответ должен быть выражен через «старую» переменную х. Подставляя в результат интегрирования t = x³+5. Окончательно получим .

2. .

Решение.

Условимся в дальнейшем все промежуточные рассуждения и выкладки заключать в вертикальные скобки (как было сделано в примере 2).

7. 3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (7.1)

где u и v непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (6.4.1) нахождение интеграла сводится к нахождению другого интеграла . Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример. При нахождении интеграла, полагая u=x–5, dv=cosxdx, найдем du=dx, . Следовательно, применяя формулу (6.4.1), получим

7.5. Примеры

1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение.

1. Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь

.

Тогда

2. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла, тем самым сводя исходный интеграл к сумме табличных интегралов:

3. 

4. .

Здесь мы воспользовались свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 4 пункта 7.3.

2. Найти интегралы методом подстановки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение.

а)

б)

в)

г)

3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

1. ;

2. .

Решение.

1. Положим , откуда . Тогда по формуле (6.4.1) находим

2. (*)

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Положим , тогда , следовательно,

Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим