6.6. Контрольные вопросы

1. Какая функция называется аппроксимирующей?

2. Что связанно с задачей интерполяции?

3. Какой интерполирующий полином используется для начала интервала наблюдения?

4. Что такое нисходящая конечная разность?

5. Какие полиномы используются для середины интервала наблюдения?

6. Что является основанием для выбора степени интерполирующего полинома?

7. Какой полином используется для случая не равноотстоящих точек?

8. Что такое восходящая конечная разность?

9. От чего зависит точность интерполирующего полинома?

10. Полином Ньютона какого вида используется для конца интервала наблюдения?

Глава 7. Неопределенный интеграл

7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (а; b). Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а; b), если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x), т. е.

для всех или dF(x)= f(x)dx.

функция 3x² есть производная от x³, т. е. 3x²dx есть дифференциал функции x³:

3x² dx = d(x³).

Тогда, по определению функция x³ является первообразной для функции 3x². Кроме того, выражение 3x²dx есть дифференциал функции x³+7: 3x²dx = d(x³+7).

Следовательно, функция x³+7 (как и функция x³) – первообразная для функции 3x².

Если F(x) есть одна из первообразных для функции f(x), то всякая другая представляется выражением F(x)+C, где C – произвольная постоянная величина.

Таким образом, любая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных.

Неопределенным интегралом от функции f(x) (или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех ее первообразных.

Обозначение: .

Здесь знак называется интегралом, функция f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (нахождения производной от функции). Всякая непрерывная на данном интервале функция имеет неопределенный интеграл.

7.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Приведем основные свойства неопределенного интеграла или правила интегрирования. Предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

3. Неопределенный интеграл суммы функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

5. Если F(x) первообразная для функции f(x), то , где k и b – постоянные.