4

гий фотонов (α << 1) σKN ≈ σTho и σKN уменьшается с увеличением энергии фотонов по закону близкому к 1/Eγ. Так как выражение

(4.16) для σKN было рассчитано для свободного электрона, оно, естественно, не зависит от атомного номера вещества. Учет связи электрона в атоме рассматривается в следующем разделе.

Особый интерес для радиационной дозиметрии представляет доля энергии, передаваемой фотоном электрону при эффекте Комптона. Так как эта величина зависит от угла рассеяния, то полезно ввести дифференциальное поперечное сечение передачи энергии электрону при комптоновском взаимодействии dσtr/dΩ. Соответствующее уравнение имеет вид:

dσ

dσ

T

dσ

′

ΚΝ ,tr

(Eγ ,cosθs ) =

KN

=

KN

Eγ − Eγ

.

(4.17)

Eγ

Eγ

dΩ

dΩ

dΩ

Интегрируя (4.17) по телесному углу 4π, получаем интегральное поперечное сечение передачи энергии электрону для эффекта Комптона:

2(1+ α)2

1+ 3α

(1

+ α)(2α2 − 2α −1)

σΚΝ ,tr (α) =

2π

−

−

2

2

−

2

(1

+ 2α)

(1 + 2α)

2

(1+

2α)

α

α

(4.18)

4α2

1

+ α

1

1

−

−

3

−

+

ln(1+

2α .

3(1+ 2α)

3

α

2α

2α

3

График зависимости σKN,tr от начальной энергии представлен на

рис. 4.10. Из рисунка видно, что кривая σKN,tr(Eγ) имеет максимум в районе 500 кэВ, отражающий увеличение доли энергии, передавае-

мый электрону, и перекрывающий уменьшение полного поперечного сечения комптоновского взаимодействия с ростом энергии фотонов. Вторую фракцию полного сечения комптоновского взаимодействия называют поперечным сечением рассеяния энергии, обозначают σKN,S и определяют как

σKN ,S = σΚΝ − σΚΝ ,tr .

(4.19)

Зависимость σKN,S от энергии фотонов показана на том же рис.4.10. Знание этих двух составляющих полного сечения комптоновского рассеяния дает возможность простого определения сред-

них энергий, передаваемой электрону T и уносимой рассеянным

фотоном E′ . Соответствующие формулы имеют вид:

γ

91

							σ KN ,tr		;		(4.20)
	T			(Eγ ) = Eγ
								σKN
				′ (E	) = E			σKN ,S		.	(4.21)
			E			γ
				γ γ				σKN

Из рис. 4.11, где представлена зависимость относительной величины кинетической энергии, получаемой электроном, T / Eγ от

начальной энергии фотона, видно, что с ростом начальной энергии доля этой энергии, передаваемая электрону, существенно возрастает возрастает.

Рис. 4.11. Зависимости относительных значений средней и максимальной энергий, передаваемых электрону при комптоновском рассеянии, от начальной энергии фотонов [1]

В ряде приложений представляет интерес дифференциальное по передаваемой электрону энергии поперечное сечение комптоновского рассеяния dσKN/dT. Эту величину можно определить следующим образом [1]:

92

dσKN

(Eγ

,T ) =

dσKN dT

−1

3

σTho

=

×

dT

dΩ

dΩ

8

αE

γ

(4.22)

2T

T 2

T 2

×

2

−

+

+

.

α(E

− T )

2

(E

− T )

E

(E

− T )

γ

α

γ

γ

γ

Единицей измерения dσKN/dT является см2/(МэВ) на электрон. Графическая иллюстрация зависимости dσKN/dT от кинетической энергии, получаемой электроном, показана на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Зависимость дифференциального по передаваемой электрону энергии поперечного сечения комптоновского рассеяния от кинетической энергии электрона [1]

2.3.4.Учет связи электрона с атомом при комптоновском рассеянии

Предыдущее описание комптоновского рассеяния предполагало электрон свободным и покоящимся. Такое допущение является достаточно аккуратным для начальных энергий фотонов выше 1 МэВ и для веществ с небольшими Z. Однако вне этой области необходимо учитывать влияние на некогерентное рассеяния связи электронов в атоме и их распределение по величине импульса [5,6]. Импульс электрона будет складываться или вычитаться из импуль-

93

са рассеянного фотона так, что в результате для моноэнергетического пучка фотонов и фиксированного угла рассеяния будут регистрироваться полиэнергетические рассеянные фотоны. Подобное допплеровское уширение рассеянных фотонов было впервые обнаружено в работе [7] и демонстрируется на рис. 4.13, где показана зависимость энергии рассеянных фотонов дважды дифференциального поперечного сечения рассеяния фотонов в единичный телесный угол и единичную энергию рассеянных фотонов d2σ/dΩdE'γ. Для свободного покоящегося электрона эта величина является дельта-функцией, на рисунке же видим расширение спектра, так как электрон не покоится, а имеет спектр импульсов. Степень уширения обратно пропорциональна степени связи электрона с атомом. Связь электрона также приводит к сдвигу пика в спектре, соответствущему приближению свободного электрона.

Связанность электрона как мишени приводит также к изменению кинематики комптоновского рассеяния. Падающий фотон теперь должен иметь достаточно энергии, чтобы перебросить электрон на более высокую орбиту или в континуум, и соответственно максимальная энергия рассеянных фотонов будет теперь равна

E′	= E	γ	− E	B	,	(4.23)
γ ,max

где EB – энергия связи электрона в атоме.

Рис. 4.13. Схематическое представление зависимости дважды дифференциального поперечного сечения рассеяния фотонов d2σ/dΩdE'γ от энергии рассеянных фотонов [7]

94

Аналогично случаю релееевского рассеяния, где для перехода от рассеяния на одиночном электроне к рассеянию на ансамбле атомных электронов применяется атомный формфактор, для комптоновского рассеяния такое обобщение проводится с использованием фактора некогерентного рассеяния [8, 9]. Это рассеяние в отличие от комптоновского рассеяния на одиночном электроне является существенно неупругим процессом, так как приводит к возбуждению или/и ионизации атома. Другими словами, не вся энергия, теряемая фотоном при рассеянии, передается электрону отдачи.

Дифференциальное поперечное сечение некогерентного рассеяния на атоме с Z электронами выражается через произведение дифференциального сечения Клейна–Нишины–Тамма для одиночного электрона и функции некогерентного рассеяния в виде

	dσinc	=	dσKN		(4.24)
где q	dΩ		dΩ	S(q, Z ),
	– передаваемый импульс электрону.

Рис. 4.14. Кинематика импульсной аппроксимации комптоновского рассеяния, в котором фотон падает на движущийся электрон (адаптировано из [1])

Кинематика комптоновского рассеяния в импульсном приближении иллюстрируется на рис. 4.14. Применим законы сохранения энергии и импульса для этого приближения:

p2

+ E

=

p′2

+ E′2 − E

;

(4.25)

e

γ

e

B

2m

2m

0

=

0

(4.26)

p

e

+ p

γ

p′

+ p′ ,

e

γ

95

	Eγ
где pγ =		Ω .
	c
Учтем далее, что передаваемый электрону импульс q											равен:
		q =	p′ − p		e		= p		− p	′ .	(4.27)
			e					γ		γ
В результате, используя (4.25) и (4.26) получаем:
		Eγ − Eγ′ =		q2			+	( p	q)	− EB .	(4.28)
								e
				2m0				m0

Первый член в правой части уравнения (4.28) соответствует нерелятивистскому свободному и покоящемуся электрону; второй и третий члены учитывают изменения, обусловленные движением электрона и его связью соответственно. Второй член в зависимости

от знака скалярного произведения ( pe q) может приводить как к

увеличению, так и к уменьшению энергии рассеянного фотона. Значения факторов некогерентного рассеяния и микроскопических поперечных сечений некогерентного рассеяния были рассчитаны в работе [8].

Рис. 4.15. Зависимости от энергии поперечного сечения комптоновского рассеяния Клейна ─ Нишины ─Тамма и поперечного сечения некогерентного рассеяния для атома углерода (сечения даны на атом) [1]

96

На рис. 4.15 в качестве примера приводятся зависимости поперечного сечения рассеяния Клейна ̶Нишины ̶Тамма и поперечного сечения некогерентного рассеяния от энергии падающего фотона для атома углерода. Из приводимых данных видно, что два расчета совпадают для энергии падающего фотона выше, чем 0,05 МэВ. Ниже этой энергии сечение Клейна–Нишины–Тамма сильно преувеличивает сечение некогерентного рассеяния.

3.Поглощение фотонов

Кпроцессам взаимодействия в рассматриваемой области энергий, в которых первичный фотон поглощается, относятся фотоэлектрическое поглощение, эффект образования электроннопозитронных пар и фотоядерные реакции. Рассмотрим их особенности.

3.1.Фотоэлектрическое поглощение

В силу того, что фотон является бозоном, а электрон фермионом, то при взаимодействии фотона с атомным электроном становится возможным полное поглощение фотона. Этот вид взаимодействия называется фотоэлектрическим поглощением, или короче фотоэффектом. Он имеет особо важное значение при низких энергиях падающих фотонов и для веществ с большим Z.

3.1.1. Кинематика фотоэлектрического поглощения

При фотоэлектрическом взаимодействии падающий фотон поглощается одним из орбитальных электронов атома, в результате чего электрон выбивается из атома с кинетической энергии, равной разности между энергией падающего фотона и суммой энергии связи электрона и кинетической энергией отдачи атома:

T = Eγ − EB − TRec ,

(4.29)

гделом.TRec – кинетическая энергия отдачи, получаемая атомом в це-

Схематическое представление кинематики фотоэффекта показано на рис. 4.16. Следует подчеркнуть, что фотоэлектрическое поглощение является реакцией трех тел (падающий фотон, атомный

97

электрон и атом), поэтому она невозможна со свободным электроном, потому что для выполнения закона сохранения импульса требуется наличие третьего тела, которому передается импульс отдачи. Однако так как масса атома очень большая по сравнению с массой электрона, то кинетическая энергия отдачи атома пренебрежимо мала. Следовательно, на практике кинематическое условие для реализации фотоэлектрического поглощения заключается в превышении энергии падающего фотона над энергией связи орбитального электрона: Eγ > EB.

Рис.4.16. Кинематика фотоэлектрического поглощения

3.1.2. Поперечное сечение

Энергетическая зависимость микроскопического сечения для фотоэлектрического поглощения τ имеет более сложный характер, чем для комптоновского рассения. Из существования кинематического порога для фотоэффекта следует, что поперечное сечение фотопоглощения для данной орбиты равно нулю, если энергия фотона не превышает энергию связи оболочки. Рассмотрим далее ситуацию, когда энергия фотона превышает пороговые энергии. Так как ядро является необходимым звеном для выполнения закона сохранения импульса, то поперечное сечение фотоэффекта увеличивается с приближением орбиты электрона к ядру, что соответствует увеличению энергии связи электрона. Наложение этой энергетической закономерности позволяет предположить, что с увеличением энергии падающего фотона происходит уменьшение τ. Более детальный теоретический анализ [1] приводит к выводу, что в нерелятивистской области энергий (EB,K < Eγ << mec2) поперечное сечение фотоэффекта уменьшается приближенно по закону τ(E) ~

98

1/Eγ7/2. Для приближенного расчета значений τ на K-оболочке здесь часто применяют формулу Гайтлера:

τ	K	= 32 2πr2	(m c2 )7 / 2	Z 5	/(3 137 E7 / 2 ).	(4.30)
		e	e

Однако при больших энергиях фотонов скорость уменьшения сечения уменьшается. Качественная зависимость τ на К-оболочке от Eγ для фотонов больших энергий (Eγ >> mec2) и Z описывается формулой Заутера:

τ	К	≈ 4πr2 Z 5m c2		/137E	.	(4.31)
		e	e	γ

Рис. 4.17. Зависимости микроскопического поперечного сечения фотоэлектрического поглощения от энергии падающих фотонов для углерода и свинца в единицах (барн/атом) [1]

Таким образом, теоретический анализ указывает на сильную зависимость τ как от энергии фотонов, так и от атомного номера материала (~Z 5). Экспериментальные данные несколько корректиру-

99

ют этот вывод. Согласно им значение τ ~ Z4,8 для материалов с малым Z, и уменьшается до зависимости τ ~ Z4 для материалов с большим Z.

Отметим, что в рассмотренных выше энергетических областях ~80 % событий фотоэффекта происходит именно на K-оболочке. Полное сечение фотоэффекта при Eγ > EB,K связано с τK следующей

формулой (погрешность 2 – 3 %):

τ / τK ≈1+ 0,0148 ln2 Z − 0,000788 ln3 Z. (4.32)

При приближении энергии фотона (с более высоких значений) к энергии связи K-оболочки происходит нарушение непрерывного хода энергетической зависимости сечения фотоэффекта, проявляющееся в скачкообразном уменьшении сечения. Аналогичные скачки в значениях сечения имеют место, и когда энергия фотонов сравнивается с EB на других оболочках. Особенно сильно эти скач-

ки проявляются для элементов с большими Z. На рис. 4.17 показаны энергетические зависимости τ(E) для углерода и свинца.

Угловое распределение фотоэлектронов относительно направления падающих фотонов характеризуется большой вытянутостью вперед, причем анизотропия углового распределения увеличивается с увеличением энергии фотонов. Этот эффект демонстрируется на рис. 4.18.

Рис. 4.18. Угловое распределение электронов, образующихся при фотоэлектрическом поглощение (фотоэлектронов), относительно направления падающих фотонов в единицах (число фотоэлектронов/ср) (адаптировано из[10])

100