4

но определить величину плотности потока в т. P из следующего уравнения:

	dΦ		d dNe
ϕ(r ,t) =	dt	(r ,t) =			da	(r	,t)	,	(3.15)
			dt

где dΦ – приращение флюенса за бесконечно малый временной интервал dt в момент времени t. Единицей измерения плотности потока частиц в СИ является 1/(м2·с), но допускается и 1/(см2·с).

Рис. 3.4. Иллюстрация понятия плоскостного флюенса (адаптировано из [2])

Так как плотность потока может быть найдена из (3.15) в любой момент времени t, то имеется возможность выразить флюенс Φ в точке P через интеграл от φ по времени:

	t1		(3.16)
Φ(r;t0	,t1 ) = ϕ(r,t) dt.
	t0

Для стационарного поля плотность потока постоянна, и выра-

жение (3.16) упрощается:		− t			(3.17)
Φ(r ) = ϕ(r ) (t			0	) = ϕ(r ) t.
	1

Подчеркнем, что далее для упрощения выражений наличие переменная r будет подразумеваться, но не указываться в формулах в качестве аргумента за исключением особых случаев, когда без этого обойтись нельзя.

71

Плотность тока частиц. По аналогии с интегральной плотностью потока частиц вводится понятие плотности тока частиц, вели-

	чина которого определяется из следующего уравнения:
			d 4 N (r , E,Ω,t)
	J (r ,t) = dE dΩ Ω			.	(3.18)
			dEdΩ

Эту величину называют еще векторной плотностью потока [3].

Векторные флюенс частиц и флюенс энергии. Определение векторного флюенса частиц аналогично определению флюенса частиц по формуле (3.16), только вместо плотности потока нужно подставить плотность тока:

	t1
Φ(r;t0	,t1 ) = J (r,t) dt.
	t0

Для стационарного поля выражение (3.19) упрощается:
		− t
Φ(r ) = J (r ) (t			0	) = J (r ) t.
	1

(3.19)

(3.20)

Аналогичным образом определяется векторный флюенс энергии

ψ(r ) .

2.3. Поперечные сечения взаимодействия излучений с веществом

2.3.1.Микроскопические сечения взаимодействия

Всилу статистической природы взаимодействия излучения с веществом для количественного описания этого процесса удобно пользоваться понятиями, имеющими вероятностный характер. Основополагающим при этом является понятие «сечение взаимодействия» (или точнее поперечное сечение взаимодействия). Введем это понятие на примере взаимодействия γ-излучения, причем из всех видов взаимодействия будем пока рассматривать только процесс рассеяния частиц.

Пусть в малой окрестности определенной точки пространства P, где каким-либо источником фотонов создается поле γ-излучения с

плотностью потока φ, помещается мишень, содержащая na атомов какого-нибудь элемента (рис. 3.5,а). Предположим, что ν падающих на мишень частиц испытали за время dt взаимодействие с атомами мишени.Тогда микроскопическим поперечным сечением взаимодействия σ называется отношение

72

σ =	ν		,	(3.21)
	ϕ n	dt
	a

имеющее размерность квадрата длины. Единицей измерения сечения в СИ является квадратный метр (допускается см2). В практике

расчетов широкое распространение получила внесистемная единица барн (б) (1 б = 10-28 м2).

Рис. 3.5. К определению понятия микроскопического поперечного сечения (а) и его вероятностной интерпретации (б)

Для большей наглядности полезно также выразить смысл сечения взаимодействия через понятие вероятности. Поместим на пути мононаправленного пучка фотонов с плотностью потока φ образец вещества в виде тонкого цилиндра высотой dl и площадью основания S так, чтобы фотоны падали нормально к основанию (рис. 3.5,б). Если в единице объема данного вещества находится na атомов, то, исходя из формулы (3.21), полное число взаимодействий, которое будет иметь место в этом образце объемом dV= S•dl в единицу времени, равно

dν = σ ϕ na dV.

(3.22)

Тогда вероятность для одного фотона испытать взаимодействие на пути в данном образце равна отношению числа фотонов, испытавших взаимодействие, к числу упавших на образец

w =	dν	=	σ ϕ na	dl	= σ na dl.	(3.23)
	ϕS		ϕ S

Теперь, если в формуле (3.23) положить na и dl равными единице, то вероятность w окажется численно равной сечению σ. Таким образом, микроскопическое поперечное сечение численно равно вероятности взаимодействия фотона (или другой элементарной ча-

73

стицы) на единичном пути в веществе, в единичном объема которого находится один атом (или электрон, или ядро, если сечение процесса определяется по отношению к взаимодействия с этими мишенями).

Так как микроскопическое поперечное сечение взаимодействия имеет размерность квадрата длины, т.е. площади, то его можно трактовать как площадь, которую занимает мишень (атом или ядро, или электрон), при прохождении через которую фотон испытывает рассеяние (в общем случае взаимодействие). Эта трактовка иллюстрируется на рис. 3.6, где показан образец материала площадью 1 см2 и толщиной dx, содержащий na мишенных центров в 1,0 см3 и расположенный нормально к падающему пучку фотонов. Поверхностная плотность мишеней (приведенная к облучаемой поверхности) в этом случае равняется na× dx, см-2.

Рис.3.6. К определению микроскопического поперечного сечения как площади, занимаемой мишенью (адаптировано из [3])

Взаимодействие между падающими (первичными) фотонами и мишенными центрами вызывает уменьшение плотности потока частиц dφ, пропорциональное плотности потока падающих фотонов и поверхностной плотности мишенных центров. Это уменьшение равно

dϕ

= −σ n dx .

(3.24)

ϕ	a
	74

Константа пропорциональности σ между относительным уменьшением плотности потока и поверхностной плотностью мишенных центров имеет размерность площади и ее можно рассматривать как поперечное сечение одного мишенного центра. Так как каждый мишенный центр имеет площадь поперечного сечения σ, то суммарная площадь, покрытая мишенными центрами, равна σ·na·dx и каждый падающий фотон, который попадает в эту площадь, выходит из первичного пучка. Интегрируя по конечной толщине мишени L, получим экспоненциальный закон ослабления первичного пучка фотонов

ϕ = ϕ e−σna L = ϕ e−ΣL ,		(3.25)
0	0

где φ0 – плотность потока первичного пучка на нулевой глубине; Σ – макроскопическое сечение взаимодействия, имеющее размерность (см-1). Для фотонов эта величина называется линейным коэффициентом ослабления и обозначается через μ.

Микроскопические поперечные сечения (или просто сечения) подразделяются на полные и парциальные. Полное сечение равняется сумме парциальных сечений, соответствующих различным видам взаимодействия (упругое и неупругое рассеяние, поглощение, различные ядерные реакции и т.д.). Эти виды для неделящихся ядер часто объединяют в две группы: сечение рассеяния и сечение поглощения. В соответствии с такой группировкой

σ = σs + σa ,

(3.26)

где σs – сечение рассеяния; σa – сечение поглощения.

2.3.2. Микроскопические дифференциальные сечения взаимодействия

Все введенные выше сечения относились к процессам взаимодействия излучения с микрочастицами вещества (электроном, атомом, ядром), поэтому их принято называть [1] микроскопическими поперечными интегральными сечениями. Их величина зависит от энергии налетающих частиц и от атомного номера атомов среды распространения (а для нейтронов и от массового номера атома).

Помимо интегральных сечений для описания вероятности изменения направления движения частицы при рассеянии с Ω на Ω′

75

вводится понятие микроскопического дифференциального сечения

рассеяния σs (E,Ω → Ω′) .

Микроскопическое дифференциальное сечение рассеяния численно равняется вероятности частицы ионизирующего излучения с энергией E при движении в гипотетическом веществе, имеющем в единице объема один атом, испытать на единице пути рассеяния, в результате которого она изменит направление своего движения с

Ω на Ω′ в единице телесного угла вокруг Ω′ (рис. 3.7). Размерность микроскопического дифференциального сечения рассеяния квадрат длины/стерадиан, обычно используется см2/ср.

Рис. 3.7. К определению микроскопического дифференциального сечения рассеяния

Как правило, дифференциальное сечение зависит не отдельно

от каждого из направлений Ω и Ω′ , а от косинуса полярного угла между этими векторами и не зависит от азимутального угла, т.е.

σs (E,Ω→ Ω′) = σs (E,cosθs ).

(3.27)

2.3.3. Макроскопические поперечные сечения взаимодействия

При прохождении излучения через конкретное вещество вероятность взаимодействия падающей частице на единице пути в дан-

76

ном веществе в силу аддитивности процесса взаимодействия на отдельных атомах будет равна

Σ = σ na .

(3.28)

Эту величину называют макроскопическим сечением взаимодействия [1] и обозначают Σ. В случае γ-излучения макроскопическое сечение принято называть линейным коэффициентом ослабления фотонов и обозначать μ. Единицей измерения Σ и μ в СИ является м-1, но на практике допускается и чаще используется см-1.

Наряду с линейным коэффициентом ослабления широко используется также массовый коэффициент ослабления μm = μ/ρ, где ρ – плотность среды. Поэтому размерность μm [см2/г].

Контрольные вопросы

1.Какие особенности имеют стохастические величины?

2.Какие особенности имеют нестохастические величины?

3.В каких случаях число случайных событий подчиняется закону Пуассона и когда нормальному распределению?

4.Как определяется точность однократного измерения случайной величины и как – среднего значения случайной величины?

5.В чем заключается основное различие между потоковыми и токовыми характеристиками поля?

6.В чем различие между понятиями флюенса и плоскостного флюенса?

7.Какую размерность и почему имеют понятия микроскопического и макроскопического поперечных сечений взаимодействия?

8.Как определить понятие микроскопического сечения взаимодействия через понятие вероятности?

9.От каких переменных зависит микроскопическое дифференциальное сечение рассеяния и какую размерность имеет эта величина?

10.По какому закону происходит ослабление первичного фотонного излучения?

77

Список литературы

1.Гусев Н.Г., Климанов В.А, Машкович В.П., Суворов А.П. Защита от ионизирующих излучений. Том 1. Физические основы защиты от излучений // М.: Энергоатомиздат. 1989.

2.Nahum A. Principles and basic concepts in radiation therapy // In: Handbook of radiotherapy. Theory and practice / Eds: P. Mayles, A. Nahum, J-C. Rosenwald. New York, London: 2007. Taylor & Francis.

3.McParland B.J. Nuclear medicine radiation dosimetry. Advanctd theoretical principles // London, New York: 2010. Springer.

78

Глава 4. Взаимодействие фотонов с веществом

1. Введение

Согласно квантовой теории электромагнитное излучение – это рождение и перенос фотонов – квантов (элементарных частиц) электромагнитного излучения. Масса покоя фотона mγ = 0, а скорость равна скорости света. Результаты опытов Комптона показали, что фотоны подчиняются тем же кинематическим законам, что и микрочастицы вещества (например, фотон с частотой ω обладает энергией Eγ = ћω и импульсом p = ћω/c), а после открытия волновых свойств у всех микрочастиц можно считать, что фотон выделяется среди других частиц, главным образом, отсутствием массы покоя и заряда и скоростью движения.

Фотоны или γ-излучение принято разделять в зависимости от способа их образования на следующие виды:

•характеристическое излучение (или х-лучи), образующееся

врезультате перехода орбитальных электронов на другую орбиту атома;

•тормозное излучение (или х-лучи), являющееся результатом кулоновского взаимодействия электронов с ядрами атомов;

•фотоны (или γ-кванты), образующиеся при ядерных превращениях;

•аннигилляционное излучение (или аннилилляционные кванты), образующееся при аннигиляции позитрона с электроном.

Двигаясь в среде, фотоны, так же как и заряженные частицы, испытывают различные взаимодействия с атомами и ядрами среды. Если не учитывать эффекты, связанные с поляризацией излучения, то эффективные сечения всех процессов взаимодействия не зависят от происхождения электромагнитного излучения и определяются лишь его энергией (длиной волны) и характеристиками среды.

Анализируя основные виды взаимодействия фотонов с веществом, разделим их для удобства на два класса:

79

•взаимодействия, при которых не происходит исчезновения фотона. К ним относятся разные виды рассеяния, а именно, томсоновское, релеевское и комптоновское рассеяния;

•взаимодействия, при которых фотон исчезает (поглощается). К ним относятся фотопоглощение фотона, процесс образования пар (электрон и позитрон) и реакции с образованием нейтронов.

Рассмотрим кинематику и зависимость микроскопических поперечных сечений взаимодействия от энергии фотонов и параметров среды.

2. Рассеяние фотонов

Рассеяние фотонов происходит на электронах и электронных оболочках атомов. В первом случае электроны предполагаются свободными, а во втором электроны находятся на электронных орбитах атомов, т.е. для их отрыва от оболочек необходимо преодолеть энергию связи, зависящую от атомного номера атома и удаленности орбиты от ядра.

2.1.Томсоновское рассеяние

Томсоновское рассеяние является упругим взаимодействием между фотоном, проявляющим себя как классическая электромагнитная волна, и "свободным" электроном, при котором электрон испытывает осциллирующие колебания и не происходит передачи энергии от фотона электрону. В реальности электрон не является, строго говоря, свободным, так как если он свободен от связи с атомом, то может быть связан, например, внутри кристаллической решетки. В результате импульс отдачи разделяется с атомом, и поэтому им можно пренебречь. Осциллирующий электрон излучает электромагнитную энергию с такой же частотой, как и у падающей волны, и угловым распределением электрического диполя.

Если падающее излучение неполяризовано, то дифференциальное поперечное сечение томсоновского рассеяния описывается следующим выражение:

σ	(cosθ		) =	dσ		=	r2		+ cos θ2 ),	(4.1)
		s			Tho		0	(1
Tho				dΩ			2		s
							80