4

где r0 = e2/m0c2 =2,818·10-28 см – классический радиус электрона; θs – угол рассеяния фотона (рис. 4.1).

Отметим, что дифференциальное сечение не зависит от энергии падающего фотона и симметрично относительно угла рассеяние 90о (рис. 4.2). Интегральное (полное) поперечное сечение томcоновского рассеяния определяется интегрированием (4.1) по телесному углу и равно σTho = 0,665 барн.

		r2	2π 1	8π
	σ Tho =	0	dφ d (cos θs ) (1+ cos2 θs ) =		r02 .	(4.2)
		2		3
			0 −1

Рис. 4.1. Кинематика томсоновского рассеяния

Рис. 4.2. Угловое распределение фотонов при томсоновском рассеянии

2.2.Релеевское (когерентное) рассеяние

Вто время как томсоновское рассеяние описывает упругое рассеяние фотона на одиночном электроне, больший практический интерес представляет процесс упругого рассеяния фотона на про-

81

странственно-распределенном ансамбле электронов, таких как, например, атомные электроны, находящиеся на орбитах вокруг ядра. В этом случае появляется возможность интерференции волн, рассеянных различными электронами. Процесс является упругим в том смысле, что фотоны теряют при этом пренебрежимо малую долю своей энергии, атом же получает некоторый импульс отдачи для выполнения законов сохранения. Поскольку передаваемый импульс мал и поглощается всем атомом, то частота падающего и рассеянного излучения практически совпадают. Этот процесс взаимодействия фотонов называется релеевским рассеянием.

Дифференциальное поперечное сечение релеевского рассеяния, когда частота падающей волны много больше собственной частоты колебаний электронов в атоме, а длина волны еще велика по сравнению с размерами атома, можно записать в виде

dσRay			dσTho				2	(4.3)
	(cos θ	, Z ) =		(cos θ	) | F (| p	e	|, Z ) | ,
dΩ	s		dΩ	s

где Z – атомный номер атома; F( pe |, Z ) – формфактор атома, в первом приближении можно считать, что F ~ Z2; pe – импульс, пе-

редаваемый атому.

На рис. 4.3 демонстрируется зависимость формфактора от передаваемого импульса для атома водорода, а на рис. 4.4 показана зависимость дифференциального сечения релеевского рассеяния от угла рассеяния на атомах углерода для фотонов разных энергий.

Рис. 4.3. Зависимость формфактора от передаваемого импульса для атома водорода [1]

82

Рис.4.4. Зависимость дифференциального поперечного сечения релеевского рассеяния на атомах углерода от угла рассеяния для фотонов разных энергий [1]

Как видно из рис. 4.4 и табл. 4.1 релеевское рассеяние происходит в основном на малые углы, причем в отличие от томсоновского рассеяния вероятность отклонения фотона на определенный угол от направления первоначального распространения зависит и от энергии фотона и от атомного номера атома.

Таблица 4.1

Максимальные значения углов, на которые отклоняются фотоны разных энергий при релеевском рассеянии на атомах алюминия и свинца [2]

Элемент		Энергия фотонов, МэВ
	0,1	1,0	10,0
Алюминий	15о	2о	0,5о
Свинец	30о	4о	1,00

Интегральное поперечное сечение релеевского рассеяния получается с помощью численного интегрирования выражения (4.3). Приближенно можно считать, что

	σ	Ray	≈	Z 2	.	(4.4)
				Eγ2

На рис. 4.5 показаны результаты численного интегрирования для углерода, а в табл. 4.2 даются значения интегрального поперечного сечения релеевского рассеяния по отношению к полному поперечному сечению взаимодействия фотонов.

83

Рис. 4.5. Зависимость интегрального поперечного сечения релеевского рассеяния фотонов на атомах углерода от энергии фотонов [1]

Таблица 4.2

Отношение интегрального поперечного сечения релеевского рассеяния к полному поперечному сечению взаимодействия фотонов различных энергий для разных элементов

Элемент		Энергия фотонов, МэВ
	0,01	0,1	1,0
Углерод	0,07	0,02	0
Медь	0,006	0,08	0,007
Свинец	0,03	0,03	0,003

Из представленных данных следует, что относительная важность релеевского рассеяния невелика, и его максимальный вклад составляет несколько процентов в полное поперечное сечение взаимодействия. Однако при низких энергиях и небольших углах рассеяния этот вид взаимодействия является существенным.

2.3. Комптоновское (некогерентное) рассеяние

2.3.1. Введение

Томсоновское и релеевское рассеяния представляют классические электродинамические процессы, в которых не происходит передачи энергии в вещество. Комптоновское рассеяние (или эффект

84

Комптона), напротив, является квантовым электродинамическим взаимодействием, приводящим к прямой передаче энергии от фотона электрону отдачи. Объяснение этого процесса возможно только с помощью квантовой электродинамики, где фотон рассматривается как квант. Это было впервые сделано Комптоном в 1923 г. [4].

Описание комптоновского рассеяния удобно рассмотреть в двух аспектах: кинематика и поперечные сечения. Первый связывает энергии и направления движения взаимодействующих частиц; второй определяет вероятность возникновения эффекта Комптона. В обоих случаях принято предполагать, что электрон, с которым взаимодействует фотон, является свободным и стационарным. Оба предположения, строго говоря, не выполняются, так как электроны занимают различные энергетические уровни атома, т.е. находятся в движении и являются связаными с ядром. Однако эти допущения позволяют получить аналитические выражения, описывающие процесс, тем более, что результирующие погрешности являются не очень значимыми при описании углового и энергетического распределения рассеянных фотонов и электронов отдачи. Более существенными они являются для определения интегральных значений поперечного сечения комптоновского рассеяния. Поэтому при расчете этих величин следует учитывать энергию связи электронов в атоме, умножая значения интегральных микроскопических поперечных сечений комптоновского рассеяния, полученные без учета связи электронов, на так называемую функцию некогерентного

рассеяния S(| pe |, Z ) . Вместе с тем, принимая во внимание широ-

кое распространение в литературе термина "комптоновское рассеяние" для описания некогерентного рассеяния как на "свободных", так и на связанных электронах, будем придерживаться этой традиции за исключением случаев, когда следует особо выделить различие между этими взаимодействиями.

2.3.2. Кинематика комптоновского рассеяния

Рассмотрим рис. 4.6, на котором показана кинематика фотона с энергией Eγ, падающего на свободный покоящийся электрон с массой покоя m0. В результате рассеяния фотон отклоняется от направления своего первоначального движения на угол θs, а его

85

энергия уменьшается до значения	E′. В результате взаимодей-
	γ

ствия электрон получает отдачу под углом θe и кинетическую энергию T.

Рис. 4.6. Кинематика комптоновского рассеяния фотона на покоящемся свободном электроне

В соответствии с законами сохранения энергии и импульса име-

ем	E			= E′	+ T;			(4.5)
		γ
				γ
	p		γ	= p′ + p		e	,	(4.6)
где | p				γ
	γ |= Eγ / c.

Проектируя закон сохранения импульса на направление первоначального движения фотона и на перпендикулярное направление, получаем два следующих уравнения:

E	γ	= E′ cosθ	s	+ p	c cosθ	;	(4.7)
		γ		e	e
		E′ sin θs	= pe sin θe .				(4.8)

Учтем далее, что в соответствии с релятивистским законом инвариантности

pe c = T (T + 2m0c2 ).

(4.9)

Подставив выражение для Pec в уравнения (4.5), (4.7) и (4.8), получим систему из трех совместных уравнений. Решая ее алгебраически приходим к следующим трем формулам, полностью описывающим кинематику комптоновского рассеяния:

86

E′ =				Eγ			;
	γ		1 + α(1 − cosθs )
T = E		− E′ = E			α(1− cosθs )					;
				γ 1+ α(1− cosθs )
	γ		γ
						1− cosθ			,
ctg θe = (1+ α)						sin θs		s

(4.10)

(4.11)

(4.12)

где α = Eγ/m0c2 – энергия фотона в безразмерных единицах, где m0c2=0.511 МэВ, и Eγ выражено в МэВ,

Анализ формулы (4.10) показывает, что энергия рассеянного фотона уменьшается с увеличением угла рассеяния θs и при θs=180о достигает минимального значения, равного

E′		=			Eγ	.	(4.13)
	,min
γ			1		+ 2α

Выделим в формуле (4.13) два предельных случая: α << 1 и α >>1, соответствующие низким и высоким начальным энергиям

фотонов. В первом случае получаем, что	E′	≈ E	γ	, т.е. передачи
	γ ,min

энергии электрону при комптоновском рассеянии фотонов низких энергий невелики. Во втором случае Eγ′,min ≤ m0c2 / 2 = 0, 255 МэВ,

т.е. передачи энергии электрону при комптоновском рассеянии фотонов высоких энергий велики, и максимально возможная энергия при рассеянии фотона на угол θs=180о не превышает 0,255 МэВ. При рассеянии фотонов на θs = 45о и 90о их максимально возможная энергия не превысит 1,745 и 0,511 МэВ соответственно. Эти особенности комптоновского рассеяния иллюстрируются также на рис. 4.7.

На рис. 4.8 показано соотношение между углами θs и θe для разных начальных энергий фотонов, определяемое формулой (4.12). Из представленных данных видно, что: а) электроны могут быть рассеяны только в переднюю полусферу; б) независимо от начальной энергии фотонов для θs = 0, θe =90о и для θs =180о, θe =0о; в) угол θe постепенно уменьшается от 90о до 0о при увеличении угла θs от 0о до 180о; г) для низких энергий фотонов θe = 90о - θs/2, а при высоких начальных энергиях фотонов углы отдачи электрона концентрируются, в основном, вокруг небольших значений θs.

87

Рис. 4.7. Зависимость энергии фотонов, испытавших комптоновское рассеяния, от начальной энергии для разных углов рассеяния

Рис. 4.8. Соотношение между углом рассеяния фотона θs и углом отдачи электрона θe при комптоновском рассеянии фотонов разных энергий

2.3.3. Сечения комптоновского рассеяния

Аналитическое выражение для дифференциального сечения комптоновского рассеяния было получено в 1928 г. Клейном и Нишина, и независимо И. Таммом, применивших релятивистскую теорию Дирака для электрона к эффекту Комптона. При выводе

88

формулы они считали электрон свободным и покоящимся. В литературе для этого сечения чаще используется термин «дифференциальное сечение Клейна ̶Нишины». Оно представляет вероятность того, что фотон испытает комптоновское рассеяние на единичном пути в виртуальном веществе, имеющим в единице объема один электрон, в результате которого он отклонится от первоначального направления своего движения на угол θs в единичном телесном угле вокруг этого направления. Формула имеет следующий вид:

dσ

KN

= σ (α,cos

θ ) =

r 2

1

×

0

[

s

]

dΩ

k

s

2

1+ α(1− cos

θ

) 2

(4.14)

α2

(1

− cos θ

)2

×

+ cos2

θ

+

1

s

s

.

1

+ α(1− cosθs )

Формулу (4.14) можно записать в более кратком варианте в виде

dσKN

r02

α′ 2

α′

α

2

(4.15)

=

+

− sin

θs

,

dΩ

2

α

α′

α

где α,α′ − энергия фотона до и после комптоновского рассеяния.

Единицей измерения dσK/dΩ является см2/ср на электрон. Зависимость dσK/dΩ от угла рассеяния для разных начальных

энергий фотонов показана на рис. 4.9. Из представленных данных видно, что: а) дифференциальное сечение комтоновского рассеяния при α = 0 совпадает с дифференциальным сечением томсоновского рассеяния; б) при θs = 0o значения дифференциального сечения одинаково для всех энергий фотонов; в) с увеличением начальной энергии фотонов увеличивается анизотропия рассеяния, т.е. направленность вперед рассеянных фотонов.

Интегральное микроскопическое поперечное сечение комптоновского рассеяния получается интегрированием формулы (4.14) по телесному углу 4π стерадиан. В результате имеем:

3

1 + α

2(1

+ α)

ln(1+ 2α

ln(1

+ 2α)

1+ 3α

σΚΝ (α) =

σTho

2

−

+ +

−

,

4

α

(1 + 2α)

α

2α

(1+ 2α)

2

(4.16)

где σTho – интегральное сечение томсоновского рассеяния (см. (4.2)). Единицей измерения σKN является см2 (или барн) на электрон.

89

Рис.4.9. Зависимость дифференциального поперечного сечения Клейна ̶Нишины от угла рассеяния фотона для разных начальных энергий

Рис. 4.10. Зависимость от энергии интегральных поперечных сечений комптоновского взаимодействия: полного сечения, сечения передачи энергии и сечения рассеяния

Графическая иллюстрация зависимости интегрального микроскопического поперечного сечения комптоновского рассеяния от начальной энергии фотонов показана на рис. 4.10. Для низких энер-

90