4

Если в данном количестве материала имеются стабильные и радиоактивные атомы одного и того же элемента, то полезной величиной является понятие специфической активности Aspec. Она определяется из следующей формулы:

	Aspec =	Nr	,	(2.16)
		Nst + Nr

где Nr и Nst – количество радиоактивных и стабильных атомов, соответственно.

3.3. Соотношение между родительской и дочерними радиоактивностями

3.3.1.Общий случай

Вбольшинстве случаев продукт радиоактивного распада (называемый дочерним) сам оказывается радиоактивным, причем для данных радиоактивных ядер может иметься более одного варианта возможных переходов (отдельные варианты называются ветвями). На рис. 2.7 представлена модель простой цепочки распада: последовательный распад р/н X в дочерний р/н Y, который в свою очередь распадается во внучатый р/н Z. Их постоянные распада равны

λX, λY и λZ соответственно.

X →λ X Y →λY Z →λZ

Рис. 2.7. Последовательный распад р/н без ветвления

Скорость распада каждого р/н определяется системой связанных дифференциальных уравнений:

dNX

= −λ X NX (t);

(2.17)

dNY

dt

= λ

X

N

X

(t) − λ N

Y

(t);

(2.18)

dt

Y

dNZ

= λY NY (t) − λZ NZ (t).

(2.19)

dt

Эти уравнения решаются достаточно просто при условии знания начальных значений количества радиоактивных атомов. Считая,

51

что на момент времени t = 0 NX(t) = NX,0, NY(t) = 0, NZ(t) = 0, получим:

NX (t) = NX ,0 e−λ X t ;						(2.20)
NY (t) = N X ,0		λ	X		(e− λ X t − e− λY t );	(2.21)
		λY − λ X

NZ (t) = NX ,0		λ X λY		×
		(λY − λ X )(λZ − λ X )(λZ − λY )		(2.22)

× ((λZ − λY )e− λX t − (λZ − λ X )e− λY t + (λY − λ X )e− λZ t ).

Выражения (2.20) – (2.22) получены для расчета количества атомов р/н. На практике чаще требуется знать активность р/н. Так как активность пропорциональна числу ядер с константой пропорциональности, равной постоянной распада для конкретного р/н, то для определения активности получаем следующие формулы:

A (t) = A				e−λ X t ;
X		X ,0
AY (t) = AX ,0		λ	Y			(e	−λ	t	− e	− λ t	) =
							X			Y
		λY − λ X

		λY		(1	− e−(λY −λ X )t );
	= AX (t)
		λY − λ X

AZ (t) = AX ,0		λY λZ		×
		(λY − λ X )(λZ − λ X )(λZ − λY )

× ((λZ − λY )e− λ X t − (λZ − λ X )e−λY t + (λY − λ X

(2.23)

(2.24)

(2.25)

)e−λZ t ).

Отметим, что интегралы по времени от каждого из уравнений (2.23) – (2.25) равны начальному количеству ядер р/н NX,0.

Представляет интерес соотношение между активностями родительских и дочерних нуклидов при разных значениях постоянных распада. В зависимости от того, какое из двух веществ в цепочке из двух связанных р/н обладает большим периодом полураспада, различают три основных случая: отсутствие равновесия, подвижное и вековое равновесия. Рассмотрим эту задачу подробнее, предполагая, что количество атомов дочернего р/н равно нулю при t = 0.

52

3.3.2. Период полураспада родительского р/н много больше периода полураспада дочернего

Пусть TX,1/2>>TY,1/2, тогда λY/( λY-λX) ≈ 1 и 1− e−(λ Y − λ X )t ≈ 1− e−λY t ,

что позволяет упростить выражение для Y-активности
A	Y	(t) ≈ A (t)(1− e−λY t ) приλ	X	≈ λ	Y	.	(2.26)
		X

Из формулы (2.26) следует, что активность дочернего нуклида Y растет асимптотически с временной константой λY пока не станет равной активности родительского р/н X. В дальнейшем активность дочернего р/н Y будет уменьшаться из-за распада материнского р/н X с постоянной распада λX, оставаясь при этом равной активности материнского р/н. Это равенство между дочерней и материнской активностью называется вековым равновесием. Оно демонстриру-

ется на рис. 2.8 для некоторого абстрактного р/н с TX,1/2 = 103 ч и дочернего р/н с TY,1/2 = 2 ч. Здесь активность дочернего р/н увели-

чивается асимптотически и практически достигает активности материнского через 15 ч.

Рис. 2.8. Иллюстрация векового равновесия для фиктивного родительского р/н с TX,1/2 = 103 и дочернего р/н с TY,1/2 = 2 ч (адаптировано из [3])

53

3.3.3. Период полураспада родительского р/н больше периода полураспада дочернего р/н

Пусть TX,1/2 > TY,1/2, что эквивалентно λX < λY, тогда λY/( λY-λX) ≈ 1 и 1− e−(λ Y −λ X )t стремится к единице с увеличением времени. Активность дочернего р/н AY(t) будет возрастать до величины, большей чем активность материнского р/н, и затем уменьшаться с той же скоростью, как и активность материнского. Этот случай называется подвижным равновесием. На рис. 2.9 показан пример кривой ак- тивность–время для виртуального родителя с TX,1/2 = 8 ч и дочернего р/н с TY,1/2 = 4 ч. Отношение активностей с увеличением времени достигает λY/( λY-λX) = 2.

Время, когда дочерняя активность достигнет максимума Tmax, можно определить стандартным способом, приравняв к нулю производную от AY(t). В результате получаем

T = Ln(λY / λ X ) ,

(2.27)

max	λY − λ X

максимальная активность дочернего р/н при этом равна

					λ X
		λ
AY ,max = AX ,0			X		λY −λ X		.	(2.28)
		λY

54

Рис. 2.9. Подвижное равновесие виртуального родительского р/н с TX,1/2 = 8 ч и

дочернего р/н с TY,1/2 = 4 ч (адаптировано из [3])

3.3.4. Период полураспада родительского р/н меньше, чем дочернего

Пусть TX,1/2 < TY,1/2, что эквивалентно λX мулу (2.24), изменив в ней знак. Получаем

λ

Y

(e

−(λ

−λ

AY (t) = AX (t)

X

Y

λ X

− λY

= AX ,0

λ

Y

(e

−λ t

− e

−λ

Y

λ X − λY

> λY. Преобразуем фор-

)t − 1) =

(2.29)

X t ).

Соответствующие зависимости активность ̶время показаны на

рис. 2.9 для виртуального родительского р/н с TX,1/2 = 6 ч и дочернего р/н с TY,1/2 = 10 ч. Как видно из формулы (2.29) и рис. 2.10, равновесие между активностями нуклидов в этом случае никогда не

наблюдается.

55

Рис. 2.10. Зависимость активностей от времени для родительского р/н с TX,1/2 = 6 ч

и дочернего р/н с TY,1/2 = 10 ч (адаптировано из [3])

3.3.5. Разветвленный распад

Разновидностью общей схемы радиоактивного распада является разветвленный распад. Ветвление означает, что при распаде р/н образуется не один дочерний нуклид, а два (иногда и несколько) нуклида. Рассмотрим случай, показанный на рис. 2.11, где родительский р/н распадается в результирующий р/н как непосредственно, так и через промежуточное дочернее состояние.

Рис. 2.11. Цепочка распада с разветвлением на две ветки

Пусть нуклид X распадается с постоянной распада λX в Y и Z с соответствующими вероятностями w и (1-w). Р/н Y в свою очередь

56

распадается в Z с постоянной распада λY. Скорость распада каждого вида ядер нуклидов описывается системой связанных дифференциальных уравнений первого порядка.

		dNX	= −λ X NX (t);	(2.30)
		dt
dNY = wλ X NX (t) − λY NY (t);				(2.31)
dNZ	dt
	= (1− w)λ X NX (t) + λY NY (t) − λZ NZ (t).			(2.32)
dt

Используя метод подстановки и принимая за начальные условия при t=0 NX = NX,0 и NY = NZ = 0, получаем следующие выражения:

NX (t) = NX ,0 e−λ X t ;

(2.33)

λ

X

(2.34)

NY (t) = wN X ,0

(e−λ X t − e−λY t );

λY − λ X

N

(t) = N

[

λ X

(1+ w

λ X

)e−λ X t −

Z

X ,0

λY − λ X

λY − λ X

(2.35)

λ

λ

λ

λ

X

Y

−λ t

X

Z

−λ t

−

e

Y

−

(1− w

)e

X

].

λZ − λY

λZ − λY

λY − λ X

λZ − λ X

Формула для расчета времени, за которое активность дочернего р/н Y достигнет максимума, в этом случае совпадает с формулой (2.27), но максимальное значение активности р/н Y отличается от выражения (2.28) на множитель w:

					λ X
		λ
AY ,max = w AX ,0			X		λY −λ X		.	(2.36)
		λY

Практическим примером рассматриваемого вида распада представляет собой изображенная на рис. 2.12 схема распада р/н 99Mo, который в настоящее время является ведущим р/н в радионуклид-

ной диагностике. На рис. 2.13 показаны зависимости относительного количества ядер 99Mo, 99Tc, 99mTc и активностей 99Mo и 99mTc от

времени.

57

Рис. 2.12. Схема распада 99Mo в 99Tc непосредственно и через изомер 99mTc [3]

Рис. 2.13. Зависимости от времени относительного количества ядер 99Mo, 99Tc, 99mTc (а) и активности 99Mo и 99mTc (адаптировано из [3])

58

Как видно из рис. 2.13,а, число ядер 99Mo экспоненциально убывает со временем, в то время как число ядер дочернего р/н 99mTc сначала возрастает до максимума и затем после достижения состояния подвижного равновесия экспоненциально убывает с постоянной распада 99Mo. В то же время число ядер 99Tc, являющегося продуктом как β- - распада 99Mo, так и изомерного перехода 99mTc, растет асимптотически к первоначальному числу ядер 99Mo. Из показанных на рис. 2.13,б зависимостей относительной активности 99mTc и 99Mo от времени видно, что их отношение стремится к асимптотическому значению, которое равно

	λY				0,115				(2.37)
w			= 0,876					= 0,959.
					0,115 − 0,
	λY − λ X					010

Максимальное же значение активности 99mTc достигается через 22,9 ч и составляет 69 % от начальной активности 99Mo.

Контрольные вопросы

1.Какие радиоактивные переходы связаны с сильным взаимодействием?

2.Какие радиоактивные переходы связаны с электростатическим взаимодействием?

3.В чем заключается процесс внутренней электронной конвер-

сии?

4.Какой спектр имеют электроны, излучаемые в процессе внутренней конверсии?

5.Какие радиоактивные переходы связаны со слабым взаимодействием?

6.Какой спектр имеют β-частицы, испускаемые при β-распаде

ядра?

7.Какие виды излучения могут испускаться при захвате электрона с К-оболочки?

8.Как образуются электроны Оже?

9.В какой момент времени достигает максимального значения активность дочернего радионуклида, если его начальная активность была равной нулю?

59

10.При каких условиях имеет место вековое равновесие?

11.В чем особенность подвижного равновесия?

12.В каких случаях никогда не наблюдается равновесия между активностями родительского и дочернего нуклидов?

13.Рассчитайте (а) количество атомов и (б) массу 131I, содержащиеся в образце 131I (T1/2 = 8,0 дней) активностью 1,11 ГБк (30 мКи).

14.Рассчитайте (а) скорость распада в минуту и (б) активность в кюри и в беккерелях образца 201Tl массой 1 мг (T1/2 = 73 ч).

15.Какое время потребуется, чтобы образцы 123I (T1/2 = 13,2 ч) активностью 370 МБк (10 мКи) и 99mTc (T1/2 = 6 ч) активностью 1,85 МБк (50 мКи) сравнялись по активности?

16.Если N атомов образца распались за T1/2,, какое количество атомов распадется за следующий отрезок времени, равный T1/2?

Список литературы

1.Blanc D., Portal G. Presis de physique nucleaire (in French). 2nd ed. // Dunod, Paris. 1999.

2.Handbook of radiotherapy physics. Theory and Practice / Eds: P. Mayles, A. Nahum, J-C. Rosenwald // New York, London: 2007. Taylor & Francis.

3.McParland B.J. Nuclear medicine radiation dosimetry. Advanced theoretical principles // London, New York: 2010. Springer.

60