2.2. Решение задачи

2.2.1. Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X₁= 600, X₂= 1000, X₃= 800 и значения x_ij (i, j = 1, 2, 3):

Отсюда, используя (1), можно определить значения Y_i , i = 1, 2, 3, конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

(4)

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден Y = (90, 350, 100).

Для определения вектора выпуска продукции Х при заданном конечном прогнозируемом векторе спроса Y = (2000, 2000, 3000) надо решить систему уравнений (3), из которого следует, что

Х = (Е-А)^-1Y, (5)

где Е – единичная матрица.

Матрица S=(E-A)^-1 – называется матрицей полных затрат.

2.2.2. Определение коэффициентов прямых затрат

Учитывая, что технология производства не изменилась, определим коэффициенты прямых затрат a_ij:

Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат будет иметь вид

. (6)

2.2.3. Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А  0.

Для того чтобы система уравнений (5) имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести необходимое количество конечной продукции. Можно показать, что для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами строго меньше единицы. Кроме того, известно: если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы А положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положительны и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А (6) соответственно равны:

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение (5) имеет смысл и вектор Y неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Х можно воспользоваться формулой (5).

2.2.4. Вычисление матрицы Е - А

Вычислим матрицу (Е - А):

(7)

2.2.5. Вычисление обратной матрицы (Е-А)^-¹

Известно, что матрица В^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице В, если произведение В * В^-1= Е (Е – единичная матрица).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой:

. (8)

Здесь (B_ij) – матрица, полученная из элементов B_ij, а B_ij – алгебраические дополнения элементов матрицы.

B_ij=(-1)ⁱ⁺^j M_ij_, (9)

где M_i_j – минор элемента a_ij (минор – это такой определитель, который получается из матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент).

Вычислим значения алгебраических дополнений элементов матрицы (Е - А). Обозначим для простоты вычислений Е - А=В

; ;