3.5. Частотные характеристики типовых звеньев
1. Частотная характеристика усилительного звена (безынерционного)
Исходя из выражения
(2.9), переходя от
,
можно записать:
(3.18)
Таким образом, АФХ усилительного звена представляет собой вектор, совпадающий с положительным направлением оси абсцисс, модуль которого не зависит от частоты и равен коэффициенту передачи звена.
Воздействия любой частоты, поступающие на вход этого звена, усиливаются в одинаковой степени без фазового сдвига.
Логарифмическая АЧХ звена определяется выражением
,
(3.19)
и представляет
собой прямую, параллельную оси абсцисс
и проходящую от нее на расстоянии
.
Логарифмическая ФЧХ при всех частотах
совпадает с осью абсцисс, так как фазовый
сдвиг при всех частотах равен нулю.
2. Частотные характеристики инерционного звена первого порядка
Из передаточной
функции звена
находим его АФХ:
(3.20)
Вещественная и мнимая частотные характеристики
. (3.21)
Согласно уравнениям (3.16) и (3.17) АЧХ и ФЧХ имеют вид:
(3.22)
Задаваясь различными
значениями
,
можно по выражениям (3.21) построить АФХ
звена. Однако в данном случае можно из
этих же двух уравнений параметрически
получить на плоскости
уравнение кривой
в явном виде как функцию.
Складывая выражения (3.21), получим:
.
Возводя в квадрат левую и правую части равенства, найдем:
откуда
Прибавляя к обеим
частям этого равенства слагаемое
,
получаем:
(3.23)
Из полученного
уравнения следует, что АФХ имеет вид
окружности (рис. 3.13, а)
с радиусом
,
центр которой расположен на положительной
вещественной полуоси в точке с
координатами (
).
Окружность касается мнимой оси в начале
координат.
Изменениям
от
соответствует
полуокружность, расположенная в
четвертом квадранте, а изменениям
от
– полуокружность в первом квадранте.
Из графиков
частотных характеристик, представленных
на рисунке, видно, усиление звена по
амплитуде при увеличении частоты
уменьшается. Это уменьшение тем резче,
чем больше постоянная времени
.
С ростом частоты
увеличивается также фазовый сдвиг
выходных колебаний п отношению к
входным. Фазо-частотная характеристика
звена отрицательна, следовательно,
выходные колебания звена по фазе отстают
от входных. При одной и той же частоте
фазовый сдвиг тем больше, чем больше
постоянная времени звена. При частотах,
амплитуда которых больше
,
т.е. в рабочей полосе частот (
)
апериодическое звено ведет себя как
усилительное. При увеличении входных
частот выходная величина звена по
модулю стремится к нулю, а фаза
.
Рис. 3.13. Частотные характеристики апериодического звена
Характерным для
звена является
,
что ясно видно из выражений (3.22).
Логарифмируя выражение для АЧХ (3.22), найдем действительную характеристику
. (*)
Однако для целей практического использования часто бывает достаточно построить асимптотическую логарифмическую АЧХ – ЛАЧХ.
Наиболее просто, практически без вычислительной работы строится асимптотическая ЛАЧХ по выражению (*). Построение показано на рис. 3.14.
Рис. 3.14. Построение асимптотической ЛЧХ
На стандартной
сетку проводится вертикальная прямая
через точку с частотой, называемой
сопрягающей частотой
.
Для частот меньших, чем сопрягающая,
т.е. при
можно пренебречь первым слагаемым под
корнем в выражении (*). Тогда левее
сопрягающей частоты (рис. 3.14) можно
заменить (*) приближенным выражением
,
которому соответствует прямая линия,
параллельная оси частот. Прямая
является первой асимптотой.
Для частот больших,
чем сопрягающая (
)
в выражении (*) можно пренебречь под
корнем единицей по сравнению с
.
Тогда вместо (*) будем иметь приближенной
значение
,
которому соответствует прямая с отрицательным наклоном -20 дБ/дек (прямая bc), являющаяся второй асимптотой.
Ломаная линия abc
называется асимптотической ЛАХ.
Действительная ЛАХ (показана на рис.
3.11 пунктиром) будет несколько отличаться
от асимптотической, причем наибольшее
отклонение будет наблюдаться в точке
.
Оно равно приблизительно 3 дБ, так как
дБ,
что в линейном
масштабе соответствует отклонению в
раз. На всем остальном протяжении влево
и вправо от сопрягающей частоты
действительная ЛАХ будет отличаться
от асимптотической менее чем на 3 дБ.
Поэтому во многих практических расчетах
достаточно ограничится построением
асимптотической ЛАХ. Что касается
построения логарифмической фазовой
характеристики, изображенной на
рис.3.14. Характерными ее особенностями
являются сдвиг по фазе
на сопрягающей частоте (т.к.
)
и симметрия ЛФХ относительно сопрягающей
частоты.