2.2.2. Интегрирующие звенья
1. Идеальное интегрирующее звено
Дифференциальное уравнение интегрирующего звена имеет вид:
(2.10)
Коэффициент
называется коэффициентом усиления
интегрирующего звена. При нулевых
начальных условиях (т.е если при
имеем
)
у интегрирующего звена выходная величина
пропорциональна интегралу входной
величины:
Записываем дифференциальное уравнение звена (2.10) в алгебраической операторной форме, получим:
,
откуда находим передаточную функцию звена:
(2.11)
Дифференциальное уравнение интегрирующего звена можно записать в другой форме:
,
где
.
При этом передаточная функция звена примет вид:
(2.12)
На рис. 2.4 представлен
характер изменения выходной величины
интегрирующего звена при подаче на его
вход постоянной входной величины
А(амплитуда),
изображение которой (см. приложение 1)
.
Рис. 2.4 Передаточная функция и переходный процесс
интегрирующего звена
Тогда из уравнения
(2.11) получим
как реакцию звена (цепи) на единичное
входное воздействие, выраженную в
алгебраической форме. Запишем данное
равенство в форме оригинала функции,
выполнив обратное преобразование
Лапласа:
,
(2.13)
если входное
воздействие является единичным, т.е.
соответствует
,
или по таблице Лапласа -
,
тогда преобразование можно записать:
(2.14)
Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев, часть которых будет рассмотрена ниже. Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Примеры реализации интегрирующих звеньев
Часто в качестве
такого звена используется операционный
усилитель в режиме интегрирования.
Интегрирующим звеном является также
обычный гидравлический демпфер (рис.2.5,
б). Входной величиной здесь является
сила
,
действующая на поршень, а выходной
перемещение поршня
.
Так как скорость движения поршня
пропорционально приложенной силе (без
учета инерционных сил):
,
где
– коэффициент скоростного сопротивления,
его перемещение будет пропорциональным
интегралу от приложенной силы:
Часто в качестве интегрирующего звена используется интегрирующий привод (рис. 2.5, г). Это особенно удобно делать при необходимости длительного интегрирования.
Примечание: Здесь
и в дальнейшем будем иметь ввиду
следующие соответствия (
).
2. Интегрирующее звено с замедлением
Звено описывается дифференциальным уравнением
(2.15)
Передаточная функция звена
(2.16)
Примером такого звена является двигатель, если в качестве выходной величины рассматривать не угловую скорость, а угол поворота, являющийся интегралом от угловой скорости. К такому же типу звена сводится демпфер (рис. 2.5, б), серводвигатель, интегрирующий привод, если более точно рассматривать их уравнения движения.
Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух включенных последовательно звеньев – идеального интегрирующего и апериодическое первого порядка.
Для нахождения временных характеристик удобно передаточную функцию представить в виде алгебраической суммы
,
что позволяет представить решение дифференциального уравнения (2.20) в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка.
Временные характеристики приведены в табл. 2.1, а частотные – в таблице 2.2. ЛАХ строится по выражению
(2.17)
Асимптотическая
ЛАХ представляет собой две прямые с
отрицательными наклонами -20 дБ/дек (при
)
и -40 дБ/дек (при
).