- •Основы теории автоматического управления Конспект лекций
- •Терминология
- •Введение
- •1. Классификация систем автоматического регулирования
- •1.1. Классификация по основному признаку
- •1.2. Общая классификация систем автоматического управления
- •2. Математические модели элементов и систем управления
- •2.1. Передаточные функции. Преобразования Лапласа
- •2.2. Типовых звенья и их передаточные функции
- •2.2.1. Усилительное (безынерционное) звено
- •2.2.2. Интегрирующие звенья
- •1. Идеальное интегрирующее звено
- •2. Интегрирующее звено с замедлением
- •3. Изодромное звено
- •2.2.3. Дифференцирующие звенья
- •1. Идеальное дифференцирующее звено
- •2. Дифференцирующее звено с замедлением
- •2.2.4. Инерционное звено первого порядка (апериодическое)
- •2.2.5. Интегро-дифференцирующее звено
- •2.2.6. Инерционное звено второго порядка
- •2.2.7. Запаздывающее звено
- •2.2.8. Представление реальных аср типовыми звеньями
- •3. Основные характеристики звеньев и систем
- •3.1. Статические свойства элементов и систем
- •3.2. Соединения статических элементов
- •3.3. Временные характеристики
- •3.4. Частотные характеристики
- •3.5. Частотные характеристики типовых звеньев
- •1. Частотная характеристика усилительного звена (безынерционного)
- •2. Частотные характеристики инерционного звена первого порядка
- •3. Частотные характеристики интегрирующего звена
- •4. Дифференцирующее звено
- •5. Инерционное звено второго порядка
- •6. Колебательное звено
- •7. Запаздывающее звено
- •8. Частотные характеристики интегро-дифференцирующих звеньев и их соединений
- •3.6. Соединение звеньев. Передаточные функции соединений
- •1. Последовательное соединение звеньев
- •2. Параллельное соединение звеньев
- •3. Встречно-параллельное соединение звеньев или соединение с обратной связью
- •4. Эквивалентные преобразования структурных схем
- •3. Пропорцилнально-интегральные регуляторы
- •4. Пропорционально-интегрально-дифференциольные регуляторы
- •3.8. Последовательные и параллельные корректирующие устройства
- •3.9 Передаточные функции систем автоматического регулирования
- •4. Импульсные системы
- •4.1. Математическое описание дискретных объектов управления в электромеханических системах
- •4.2. Общие сведения об импульсных системах
- •4.3. Цифровые регуляторы в электромеханических системах
- •4.3.1. Методика синтеза регуляторов в мехатронной системе
- •5. Устойчивость линейных систем автоматического регулирования
- •5.1. Постановка задачи исследования устойчивости
- •5.2. Оценка устойчивости разомкнутой и замкнутой системы с помощью алгебраического критерия Рауса-Гурвица
- •5.3. Частотные критерии устойчивости
- •1. Критерий Михайлова
- •2. Критерий устойчивости Найквиста
- •Приложения
- •Список литературы
- •Оглавление
5. Инерционное звено второго порядка
В соответствии с передаточной функцией инерционного звена второго порядка
АФХ можно записать в виде:
Вещественная частотная характеристика
Мнимая частотная характеристика
Амплитудно-частотная характеристика
Фазо-частотная характеристика
На рис. 3.20 изображена амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена.
Рис. 3.20. АФХ инерционного звена второго порядка
при разном отношении
АФХ начинается на действительной оси в точке с абсциссой, равной . Вид АФХ определяется величиной отношения постоянных времени . Чем больше это отношение, тем меньше колебательность звена. При колебательное звено превращается в соединение из двух апериодических звеньев первого порядка.
При и отношение , а инерционное звено второго порядка превращается в инерционное звено первого порядка с постоянной времени . Амплитудно-фазовая характеристика в этом случае определяется выражением
,
и имеет вид окружности с радиусом , центр которой расположен на вещественной оси в точке ().
При инерционное звено второго порядка превращается в колебательное звено (соотношение 2.49).
При этом, чем меньше , тем меньше отношение и тем меньше степень затухания колебаний в звене (соотношение (2.51).
При степень затухания будет равна нулю и возникшие в звене колебания будут незатухающими с собственной частотой колебаний, равной .
Амплитудно-фазовая характеристика при этом определяется выражением
. (3.31)
Графически эта характеристика при изменении частоты колебаний входной величины имеет вид двух полупрямых (рис. 3.20). Первая полупрямая начинается при на вещественной положительной полуоси в точке и при возрастании уходит в бесконечность по вещественной полуоси в положительном направлении. Вторая полупрямая совпадает с отрицательной вещественной полуосью. Начало прямой в бесконечности при , а конец – в начале координат при , т.е. функция не определена и терпит разрыв на частоте . Такой разрыв графически представляют окружностью бесконечного радиуса, а функцию для практического использования доопределяют затуханием
Определяя первую производную АЧХ по частоте и приравнивая полученное выражение нулю, находим:
Отсюда вытекает, что
или
Из этого уравнения находим значение частот, при которых АЧХ имеет экстремумы:
Из выражения для АЧХ следует, что при АЧХ равна коэффициенту усиления инерционного звена второго порядка:
,
и не зависит от величины постоянных времени , и их соотношения.
Второе вещественное экстремальное значение имеется только при
.
При этом чем больше отношение постоянных времени приближается к значению , тем ближе подходит вторая точка экстремума к первой (это видно из рис. 3.21, а).
Рассмотрим второй экстремум кривой , появляющийся при . Из рисунка видно, (и это можно аналитически показать на АЧХ), что при возрастании от до АЧХ также возрастает, начиная со значения , и при достигает максимального значения:
,
при дальнейшем увеличении частоты АЧХ стремится к нулю.
Рис. 3.21 Амплитудно-частотные и фазочастотные
характеристики инерционного звена второго порядка
Если продолжить дальнейшее уменьшение отношения , максимум АЧХ увеличивается и приближается к собственной частоте колебаний звена .
При максимум . Амплитудно-частотная характеристика при этом совпадает с амплитудно-фазовой и определяется выражением (3.31).
Итак, если входная величина является постоянной (), то . Если частота входной величины стремится к бесконечности, то амплитудно-частотная характеристика стремится к нулю, что явствует из рисунка.
Из рисунка 3.21, б видно, что всё семейство характеристик для различных отношений равно нулю при , равно при частоте и стремится к при частоте . Так как отрицательна, то выходные колебания во всем диапазоне изменения отстают от входных колебаний.
При фаза выходных колебаний совпадает с фазой входных колебаний в диапазоне изменений от . При происходит изменение фазы скачком от до , и в диапазоне изменения от фаза выходных колебаний отстает от фазы входных колебаний на .
-
Построение асимптотических логарифмических
частотных характеристик (ЛЧХ)
Амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) можно записать
Вначале построения асимптотической ЛАХ проводятся вспомогательные вертикальные линии через сопрягающие частоты и . Для определенности построения принято, что .
ЛАХ строится по выражению
. (**)
Построение ЛЧХ изображено на рис. 3.22.
Левее первой сопрягающей частоты (), это выражение заменяется приближенным
,
которому соответствует горизонтальная прямая (первая асимптота ЛАХ).
Рис. 3.22. Построение асимптотической ЛЧХ
Для частот выражение (**) заменяется приближенным
,
которому соответствует прямая с отрицательным наклоном -20 дБ/дек (вторая асимптота). Для частот выражение (**) заменяется приближенным
,
которому соответствует прямая с отрицательным наклоном -40 дБ/дек. (третья асимптота). Действительная ЛАХ показана на рисунке пунктиром. Она отличается от асимптотической в точках излома на 3 дБ.
Фазо-частотная характеристика
.
На рис. 3.23 приведен листинг MathCAD-программы расчета и построения логарифмической частотной характеристики инерционного звена второго порядка для ЛАХ, отмеченной (**) с параметрами расчета:
.
Рис. 3.23. Mathcad-программа расчета и построения ЛАЧХ
При построении логарифмической фазочастотной характеристики в соответствии с выражением (3.17) типа
,
в которых знаменатель может быть нулевым или отрицательным. Во избежание сингулярности (при ) или ошибки (при ) вычисления фазового сдвига тригонометрических функций необходима ручная коррекция главного значения , возвращаемого функцией , с учетом знаков чисел и :