2. Критерий устойчивости Найквиста
Знаменатель
передаточной функции
замкнутой системы автоматического
регулирования представляет собой
функцию
, (5.21)
на единицу
отличающуюся от передаточной функции
разомкнутой системы
.
С учетом выражения (2.6)
получим:
(5.22)
Так как в реальных
системах порядок оператора правой
части дифференциального уравнения
всегда меньше порядка оператора левой
части дифференциального уравнения,
т.е. степень многочлена
всегда больше степени многочлена
,
то степени числителя и знаменателя
одинаковы
и определяются степенью
,
равной
.
Подставив в выражение (3.19) числитель и знаменатель из равенств (2.13) и (5.22) , получим передаточную функцию замкнутой системы
. (5.23)
Многочлен
знаменателя передаточной функции есть
характеристический многочлен
дифференциального уравнения замкнутой
системы, составляющий левую часть
характеристического уравнения (2.37)
,
корни которого позволяют найти по формуле (2.38) общее решение однородного дифференциального уравнения системы.
Следовательно,
числитель функции
является характеристическим многочленом
передаточной функции замкнутой системы,
а знаменатель
согласно формуле (2.6) – характеристическим
многочленом разомкнутой системы.
Перейдем от
оператора
в формуле (5.21), получим функцию
,
на единицу отличающуюся от амплитудно-фазовой
характеристики разомкнутой системы
:
.
(5.24)
Согласно формуле (5.22) частотная функция запишется так:
, (5.25)
где
– годограф Михайлова замкнутой системы;
– годограф
Михайлова разомкнутой системы.
В показательной форме можно записать:
где
.
При изменении
от 0 до
полное приращение фазы функции
будет равно:
.
Для работоспособности системы необходимо, чтобы в рабочем (замкнутом) состоянии она была устойчивой. Это требование, согласно критерию устойчивости Михайлова выражается условием.
.
В разомкнутом состоянии в общем случае система может быть и неустойчивой, однако если в замкнутом рабочем состоянии она устойчива, то этого достаточно для ее нормальной работы.
Принимая в общем
случае, что в разомкнутом состоянии
система неустойчива и ее характеристическое
уравнение
имеет
корней справа от мнимой оси, согласно
формуле (5.18) (
)
критерия Михайлова запишем:
.
Таким образом,
. (5.26)
Так как выражение (5.26) обеспечивает отсутствие корней характеристического уравнения замкнутой системы справа от мнимой оси, то оно является необходимым и достаточным условием устойчивости системы и называется критерием устойчивости Найквиста.
Если
,
то замкнутая система неустойчива.
Критерий устойчивости Найквиста можно сформулировать следующим образом:
Замкнутая
линейная система устойчива, если
приращение фазы функции
при изменении
от 0 до
будет равно
,
где
– число корней характеристического
уравнения разомкнутой системы, лежащих
на комплексной плоскости справа от
мнимой оси.
Рис.5.5. Амплитудно-фазовые характеристики
а – устойчивые в замкнутом состоянии; б – неустойчивые в замкнутом состоянии.