8 Вариант

1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости, проходящей через точки А₁(3;0;0), А₂(0;2;3), А₃(1;4;1).

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки , и перпендикулярной плоскости .

3. Доказать, что прямая параллельна плоскости .

4. Даны вершины треугольника АВС: , , . Найти точку пересечения медианы AM и высоты СН.

5. Вычислить объем и высоту параллелепипеда, построенного на трех данных векторах: , , .

9 Вариант

1. Найти угол между плоскостью х + у = 0 и плоскостью, проходящей через три точки: М₁(1;3;0), М₂(4;–1;2), М₃(3_;0;1).

2. Даны две вершины треугольника ABC: A(–6;2), В(2;–2) и точка пересечения его высот Н(1;2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2;–3;–4) параллельно прямой .

4. Показать, что прямые и перпендикулярны.

5. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

10 Вариант

1. При каком пересекаются прямые и .

2. Найти расстояние от точки А(–3; 3) до прямой .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(–2;7;3) параллельно плоскости x – 4y + 5z – l = 0.

4. Даны вершины треугольника ABC: A(7; 0), В(4; 1), С(–4; –8). Написать уравнение медианы ВМ.

5. Даны координаты вершин пирамиды A₁(3;1;–2), А₂(1;–2;1), А₃(–2;1;0), А₄(2;2;5). Найти объем пирамиды и высоту, опущенную из вершины А₃.

11 Вариант

1. Составить канонические уравнения прямой проходящей через начало координат и параллельно прямой .

2. Найти угол между прямой и плоскостью .

3. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А₄(1;1;0) и перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃, проходящей через три заданных точки: А₁(3;0;5); А₂(0;0;2), А₃(4;1;2).

4. Найти расстояние от точки Р(1;2;3) до прямой .

5. Даны вершины треугольника ABC: A(l;–1;2), В(5;–6;2), С(1;3;1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

12 Вариант

1. Определить угол между прямой и плоскостью х – 2у + z + 4 = 0.

2. Найти расстояние от точки до прямой .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(–1; 3;2), М₂(–1;3; –1) и перпендикулярно к плоскости 3х + 4у + 12z – 1 = 0.

4. Даны вершины треугольника АВС: А(–2;–6), В(–3;5), С(4;0). Найти точку пересечения медианы АМ и высоты СH.

5. Установить, компланарны ли векторы : , , .

13 Вариант

1. Через точку пересечения прямых и провести прямую параллельную оси Oy.

2. Установить, плоскости ; ; имеют единственную общую точку, и найти ее координаты.

3. Найти угол между прямыми и .

4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А₄(1;1;0) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки А₁(3;0;5), А₂(0;0;2), А₃(4;1;2).

5. Даны три силы , , , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения С(5;3;–7) в положение В(4;–1;4).